[論文レビュー] Quotients of the Fourier algebra, and representations that are not completely bounded

Yemon Choi, Ebrahim Samei|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2011

Advanced Operator Algebra Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、非アーベル群 $G$ の広いクラスに対して、ヒルベルト空間上のフーリエ代数 $A(G)$ の有界表現が完全有界でないものが存在することを示している。さらに、$A(G)$ から導かれる制限代数 $A_G(E)$ を調べ、$G$ がほとんどアーベルであるとき、$A_G(E)$ が作用素代数に完全同型であるための必要十分条件は、部分集合 $E \subset G$ が有限であることであることを示している。

ABSTRACT

We observe that for a large class of non-amenable groups $G$, one can find bounded representations of $A(G)$ on Hilbert space which are not completely bounded. We also consider restriction algebras obtained from $A(G)$, equipped with the natural operator space structure, and ask whether such algebras can be completely isomorphic to operator algebras; partial results are obtained, using a modified notion of Helson set which takes account of operator space structure. In particular, we show that if $G$ is virtually abelian, then the restriction algebra $A_G(E)$ is completely isomorphic to an operator algebra if and only if $E$ is finite.

研究の動機と目的

• 非アーベル群 $G$ に対して、ヒルベルト空間上でのフーリエ代数 $A(G)$ の有界だが完全有界でない表現の存在を調査すること。
• 部分集合 $E \subset G$ に制限することによって得られる制限代数 $A_G(E)$ の作用素空間的構造を検討すること。
• 作用素空間理論に適応した修正版のヘルソン集合の概念を用いて、このような制限代数がいつ作用素代数に完全同型であるかを特定すること。
• $G$ がほとんどアーベルである場合に、$A_G(E)$ が作用素代数に完全同型であるための特徴づけを確立すること。

提案手法

• ヒルベルト空間上での $A(G)$ の有界表現を分析し、その完全有界性の性質に注目する。
• 制限代数 $A_G(E)$ に、$A(G)$ から引き継がれる自然な作用素空間構造を導入する。
• 完全同型問題を解明するために、作用素空間構造を考慮した修正版のヘルソン集合の概念を導入する。
• 作用素空間理論と調和解析の技法を用いて、$A_G(E)$ の構造を特徴づける。
• ほとんどアーベル群の構造を応用し、作用素代数への完全同型に関する鋭い二分法を導出する。
• $E$ の有限性に基づいた完全同型の必要十分条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの非アーベル群 $G$ に対して、ヒルベルト空間上での $A(G)$ の有界だが完全有界でない表現が存在するか？
• RQ2 作用素空間構造を $A(G)$ から引き継いだ制限代数 $A_G(E)$ が、いつ作用素代数に完全同型となるか？
• RQ3 作用素空間構造が、この文脈におけるヘルソン集合の定義と性質にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $G$ がほとんどアーベルである場合に、部分集合 $E \subset G$ の有限性と $A_G(E)$ が作用素代数に完全同型であるという関係は、どのように定式化されるか？
• RQ5 修正版のヘルソン集合の概念は、完全同型に必要な作用素空間理論的性質を捉えうるか？

主な発見

• 非アーベル群 $G$ の広いクラスに対して、ヒルベルト空間上での $A(G)$ の有界表現が完全有界でないものが存在する。
• 制限代数 $A_G(E)$ は、$A(G)$ から自然に誘導される作用素空間構造を備えており、作用素空間的手法による解析が可能となる。
• 完全同型問題を扱う文脈で、作用素空間構造を反映した修正版のヘルソン集合の概念が導入された。
• $G$ がほとんどアーベルであるとき、$A_G(E)$ は $E$ が有限であるための必要十分条件として作用素代数に完全同型である。
• ほとんどアーベルの場合に、$E$ の有限性が完全同型のための必要十分条件であり、鋭い構造的二分法が確立された。