[論文レビュー] $R$-closed homeomorphisms on surfaces

Tomoo Yokoyama|arXiv (Cornell University)|May 16, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、連結な向きつけ可能閉曲面上の $R$-閉ホメオモルフィズムの極小集合を分類し、 genus >1 の曲面上では極小集合が周期的軌道またはカントール集合の拡張であることを示している。トーラス上では、非極小かつ非周期的写像は、有限個の本質的サーキロイドの直積集合またはカントール集合の拡張である。球面上では、非周期的かつ向きを保つ写像は正確に2つの固定点とサーキロイドを極小集合に持ち、軌道類空間は $[0,1]$ に位相同型である。これらの結果は、サスペンション構成を用いて codimension-two フォリエーションへ拡張される。

ABSTRACT

Let $f$ be an $R$-closed homeomorphism on a connected orientable closed surface $M$. In this paper, we show that If $M$ has genus more than one, then each minimal set is either a periodic orbit or an extension of a Cantor set. If $M = \mathbb{T}^2$ and $f$ is neither minimal nor periodic, then either each minimal set is finite disjoint union of essential circloids or there is a minimal set which is an extension of a Cantor set. If $M = \mathbb{S}^2$ and $f$ is not periodic but orientation-preserving (resp. reversing), then the minimal sets of $f$ (resp. $f^2$) are exactly two fixed points and other circloids and $\mathbb{S}^2/\widetilde{f} \cong [0, 1]$.

研究の動機と目的

• コンパクトな向きつけ可能曲面上の $R$-閉ホメオモルフィズムの極小集合の構造を分類すること。
• 曲面の genus に応じて、極小集合の位相的型（周期的軌道、サーキロイド、またはカントール集合の拡張）を特定すること。
• $\mathbb{T}^2$ および $\mathbb{S}^2$ 上の非極小かつ非周期的写像について、軌道類空間 $M/\widetilde{f}$ の構造を確立すること。
• サスペンションによる $R$-閉ホメオモルフィズムの構成を用いて、codimension-two フォリエーションへの応用を確立すること。

提案手法

• コンパクトな距離空間における $R$-閉性と点별ほぼ周期性の同値性を用いて、軌道の閉包を分析する。
• 軌道の閉包の順序コンパクト性および連結性を、$R$-閉性のもとで応用する。
• サーキロイドおよびアニュラーコンティニュウムの概念を用いて、位相的埋め込みと不変性の観点から極小集合を特徴付ける。
• 軌道類空間 $M/\widetilde{f}$ を商空間として用い、グローバルな位相的構造を導出する。
• 動的システム理論の結果（特に codimension-two フォリエーションにおける極小集合およびホロノミーに関する定理）を適用する。
• サスペンション構成を用いて、$R$-閉ホメオモルフィズムを codimension-two フォリエーションへと持ち上げ、$R$-閉性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus が1より大きい曲面上の $R$-閉ホメオモルフィズムの極小集合の位相的構造は何か？
• RQ2 トーラス $\mathbb{T}^2$ 上で、写像が非極小かつ非周期的である場合、その極小集合はどのように異なるか？
• RQ3 球面 $\mathbb{S}^2$ 上で、非周期的かつ向きを保つ $R$-閉ホメオモルフィズムの極小集合の構造は何か？
• RQ4 軌道類空間 $M/\widetilde{f}$ は、$R$-閉曲面ホメオモルフィズムの力学的性質をどのように反映するか？
• RQ5 $\mathbb{T}^2$ や $\mathbb{S}^2$ 上の $R$-閉ホメオモルフィズムは、非極小かつ非コンパクトな codimension-two フォリエーションを誘導できるか？

主な発見

• genus >1 の曲面上では、$R$-閉ホメオモルフィズムのすべての極小集合は、周期的軌道またはカントール集合の拡張のいずれかである。
• トーラス $\mathbb{T}^2$ 上で、$f$ が非極小かつ非周期的であれば、すべての極小集合は有限個の本質的サーキロイドの互いに交わらない直積集合であるか、カントール集合の拡張である極小集合が存在する。
• 球面 $\mathbb{S}^2$ 上で、$f$ が非周期的かつ向きを保つならば、極小集合は正確に2つの固定点と他のサーキロイドから構成され、$\mathbb{S}^2/\widetilde{f} \cong [0,1]$ である。
• 球面 $\mathbb{S}^2$ 上の向きを反転する $f$ に対して、$f^2$ の極小集合は2つの固定点とサーキロイドからなり、$\mathbb{S}^2/\widetilde{f}$ は閉区間である。
• $\mathbb{T}^2$ や $\mathbb{S}^2$ 上の非極小かつ非周期的 $R$-閉ホメオモルフィズムのサスペンションは、非極小かつ非コンパクトな codimension-two $R$-閉フォリエーションをもたらす。
• 軌道類空間 $M/\widetilde{f}$ はハウスドルフであり、$V$（連結な軌道閉包の集合）が境界成分を持つかどうかに応じて、閉区間または円に位相同型である。