[論文レビュー] r-extended Lah-Bell numbers and polynomials associated with r-Lah numbers

Dae San Kim, Taekyun Kim|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2020

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ラーハ数の組み合わせ的拡張として、r-拡張ラーハ・ベル数および多項式を導入し、ポアソン確率変数を2rシフトしたものの上昇階乗モーメントとの関係を確立する。母関数およびアンブレル記法を用いて、再帰関係、ドビンスキーに類似した公式、およびモーメント恒等式を導出しており、Xがパラメータαのポアソン分布に従うとき、X+2rのn番目の上昇階乗モーメントが、αにおけるr-拡張ラーハ・ベル多項式に等しいことを証明している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study some basic properties of the r$-extended Lah-Bell numbers and polynomials associated with r-Lah numbers and to show the connection between the r-extended Lah-Bell polynomials and the rising factorial moments of the Poisson random variable shifted by an even nonnegative integer 2r. Here the nth r-extended Lah-Bell number counts the number of ways a set of n+r elements can be partitioned into non-empty linearly ordered subsets such that r distinguished elements have to be in distinct linearly ordered subsets and the r-extended Lah-Bell polynomials are natural extensions of the r-extended Lah-Bell numbers.

研究の動機と目的

• r-拡張ラーハ・ベル数および多項式をr-ラーハ数の自然な拡張として定義し、それらを研究すること。
• r-拡張ラーハ・ベル数および多項式の再帰関係および母関数を導出すること。
• r-拡張ラーハ・ベル数とr-拡張ベル数との関係、およびr-ラーハ数と第二種スターリング多項式との関係を確立すること。
• X+2r（X ~ ポアソン(α)）の上昇階乗モーメントとr-拡張ラーハ・ベル多項式との間の新しい関係を示すこと。

提案手法

• r-拡張ラーハ・ベル数をkに関するr-ラーハ数の和として定義：$ B_{n,r}^{L} = \sum_{k=0}^{n} L_r(n,k) $。
• r-拡張ラーハ・ベル多項式の指数的母関数を導出：$ \sum_{n=0}^{\infty} B_{n,r}^{L}(x) \frac{t^n}{n!} = \exp\left( x\left( \frac{1}{1-t} - 1 \right) \right) \left( \frac{1}{1-t} \right)^{2r} $。
• 確率母関数を用いて、$ E[\langle X+2r\rangle_n] $ と $ B_{n,r}^{L}(\alpha) $ の関係を導出（X ~ ポアソン(α)）。
• 第一種および第二種スターリング数を用いたアンブレル記法および逆変換公式を適用し、r-ラーハ数をスターリング多項式およびその逆に表現すること。
• r-ラーハ数の畳み込み恒等式を確立：$ \binom{m+k}{m} L_{2r}(n,m+k) = \sum_{l=m}^{n-k} \binom{n}{l} L_r(l,m) L_r(n-l,k) $。
• 母関数の恒等式およびモーメント母関数を用いて、r-拡張ラーハ・ベル数および多項式のドビンスキーに類似した公式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r-拡張ラーハ・ベル数および多項式を、体系的かつ組み合わせ的・解析的に定義し、特徴づける方法は何か？
• RQ2 r-拡張ラーハ・ベル多項式の母関数は何か？ そして、ポアソン分布とどのように関係するか？
• RQ3 r-拡張ラーハ・ベル数は、r-拡張ベル数および第二種スターリング多項式とどのように関係するか？
• RQ4 X+2rの上昇階乗モーメントの組み合わせ的または確率的解釈は、r-拡張ラーハ・ベル多項式を用いてどのように表現できるか？
• RQ5 r-拡張ラーハ・ベル数に対して、再帰関係およびドビンスキーに類似した公式を導出できるか？

主な発見

• ポアソン確率変数Xを2rシフトしたものの上昇階乗モーメント $ E[\langle X+2r\rangle_n] $ は、αにおけるr-拡張ラーハ・ベル多項式に等しい：$ E[\langle X+2r\rangle_n] = B_{n,r}^{L}(\alpha) $。
• r-拡張ラーハ・ベル多項式の母関数は $ \sum_{n=0}^{\infty} B_{n,r}^{L}(x) \frac{t^n}{n!} = \exp\left( x\left( \frac{1}{1-t} - 1 \right) \right) \left( \frac{1}{1-t} \right)^{2r} $ である。
• r-拡張ラーハ・ベル数のドビンスキーに類似した公式が導出された：$ B_{n,r}^{L} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} (-1)^{k-j} \frac{(n+r)!}{(n+r-j)!} $、ただし正確な形は母関数に暗黙的に含まれる。
• r-拡張ラーハ・ベル数は再帰関係 $ B_{n,r}^{L} = \sum_{k=0}^{n} L_r(n,k) $ を満たし、$ L_r(n,k) $ はn+r個の要素をk+r個の順序付きブロックに分割し、r個の区別可能な要素を別々のブロックに配置する組み合わせ的分割によって定義される。
• 明示的な表式として $ B_{n,r}^{L}(\alpha) = \sum_{l=0}^{n} \sum_{k=l}^{n} L_r(n,k) S_1(k,l) B_l(\alpha) $ が与えられ、ここで $ B_l(\alpha) $ はベル多項式である。
• r-ラーハ数の畳み込み恒等式が確立された：$ \binom{m+k}{m} L_{2r}(n,m+k) = \sum_{l=m}^{n-k} \binom{n}{l} L_r(l,m) L_r(n-l,k) $。