[論文レビュー] $r$-extension of Dunkl operator in one variable and Bessel functions of vector index

Ahmed Fitouhi, Lazhar Dhaouadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2012

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、巡回群 $C_r$ と $r$ 乗根の単位根を用いて、1変数におけるDunkl作用素の $r$ 拡張を導入し、その $r$ 乗が一般化されたBessel型微分作用素 $\Delta_{\nu}$ に一致する微分差分作用素 $D_{\nu}$ を構成する。主な貢献は、$D_{\nu}$ がベクトルインデックス $\mu = (\alpha_0, \dots, \alpha_{r-1})$ を持つベッセル関数を固有関数として持つことであり、$r=2$ の場合に古典的Dunkl作用素が一般化されることである。この枠組みにより、$r$ 対称関数空間と変換作用素に基づく新しい調和解析が可能になる。

ABSTRACT

In this work we present an operator $D_μ$ constructed with the help of the cyclic group set of the $r^{\small th}$ roots of unity. This operator constitute an $r$-extension of the Dunkl operator in one variable because when $r=2$ it reduces to the classical one and admits as eigenfunctions the Bessel functions of vector index early deeply studied by Klyuchantsev. This paper is argued by specific examples and contains some interesting results which are the prelude of harmonic analysis related to this operator.

研究の動機と目的

• 1変数における古典的Dunkl作用素を、巡回群 $C_r$ と $r$ 乗根の単位根を用いて $r$ 次の拡張に一般化すること。
• その $r$ 乗が一般化されたBessel型作用素 $\Delta_{\mu}$ に一致する微分差分作用素 $D_{\mu}$ を定義し、古典的調和解析を拡張すること。
• $D_{\mu}$ におけるベクトルインデックス $\mu$ を持つベッセル関数の固有関数性を確立し、$r=2$ の場合に一般化すること。
• $r$ 偶関数および $r$ 奇関数の関数空間への分解、射影作用素 $T_k$、$r$ 拡張されたフーリエ変換および変換作用素の基礎的ツールを構築すること。

提案手法

• 巡回群 $C_r = \{1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{r-1}\}$ を定義し、$\omega = e^{2\pi i / r}$ とする。これにより $r$ 対称関数空間 $F_k$ を構成する。
• 関数空間を不変部分空間に分解するための射影作用素 $T_k = \frac{1}{r} \sum_{n=0}^{r-1} s_k^n$ を導入する。ここで $s_k g(x) = \omega^k g(\omega x)$ である。
• $D_{\mu} = \frac{d}{dx} + \frac{1}{x} \sum_{k=0}^{r-1} a_k T_k$ として、Dunkl作用素の $r$ 拡張を構成する。係数は $a_k = r\alpha_k + k$ である。
• 一般化されたBessel作用素 $\Delta_{\mu} = L_{a_{r-1}} \circ \cdots \circ L_{a_0}$ を定義する。ここで $L_a(f) = x^{-a} \frac{d}{dx}(x^a f)$ であり、$D_{\mu}^r = \Delta_{\mu}$ が $F_k$ 上で成り立つことを証明する。
• $r$ 拡張されたフーリエ変換 $\mathcal{F}_{\mu}$ を定義し、$D_{\mu}$ と intertwining 性質を示す。$D_{\mu}^* = -D_{\mu}$ の下で $\mathcal{F}_{\mu} D_{\mu} g(\lambda) = -\theta \lambda \mathcal{F}_{\mu} g(\lambda)$ を満たす。
• $D_{\mu}$ が1次元Dunkl-Opdam作用素 $T(\kappa)$ を一般化することを示す。フーリエ係数における線形系による等価性を示すが、逆問題における過剰決定性により、一般には解が存在しないことから、$D_{\mu}$ はより一般である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1変数における古典的Dunkl作用素を、巡回群 $C_r$ を用いて $r$ 次の微分差分作用素にどのように一般化できるか。
• RQ2 $D_{\mu}$ の $r$ 乗と一般化されたBessel型作用素 $\Delta_{\mu}$ の関係は何か。
• RQ3 ベクトルインデックス $\mu = (\alpha_0, \dots, \alpha_{r-1})$ を持つベッセル関数は $D_{\mu}$ の固有関数であるか。また、古典的ベッセル関数にどのように一般化されるか。
• RQ4 $D_{\mu}$ と標準的微分作用素を結ぶ変換作用素を構成できるか。また、$r$ 拡張されたフーリエ変換におけるその役割は何か。
• RQ5 提案された $D_{\mu}$ は1次元Dunkl-Opdam作用素の特殊化とどのように関係し、どのような意味で適切な一般化であるか。

主な発見

• $D_{\mu}$ は各不変部分空間 $F_k$ 上で $D_{\mu}^r = \Delta_{\mu}$ を満たす。$r=2$ の場合に古典的ケースが一般化される。
• ベクトルインデックス $\mu$ を持つベッセル関数は $D_{\mu}$ の固有関数であり、$F_k$ 分解において固有値方程式 $D_{\mu} f = \lambda f$ が成り立つ。
• $r$ 拡張されたフーリエ変換 $\mathcal{F}_{\mu}$ は変換作用素を介して定義され、$D_{\mu}^* = -D_{\mu}$ の下で $\mathcal{F}_{\mu} D_{\mu} g(\lambda) = -\theta \lambda \mathcal{F}_{\mu} g(\lambda)$ を満たす。これによりスペクトル的関係が確立される。
• $D_{\mu}$ は1次元Dunkl-Opdam作用素 $T(\kappa)$ を一般化するが、より一般である。$T(\kappa)$ は $D_{\mu}$ に埋め込めるが、逆は一般には解をもたない過剰決定系を解く必要がある。
• $T_k$ を用いた $r$ 偶関数および $r$ 奇関数への関数の分解により、$D_{\mu}$ は微分作用素と重み付きシフト作用素の和として構成可能であり、$D_{\mu}$ は $F_k$ を $F_{k+1}$ に写像する。
• リーマン＝リウヴィル変換および関連する積分表現を用いて固有関数を表現し、変換フレームワークを支援する。これにより、今後の調和解析の基盤が提供される。