[論文レビュー] Résolutions de Demazure affines et formule de Casselman-Shalika géométrique

B. C. Ngô, Patrick Polo|ArXiv.org|May 2, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 50

ひとこと要約

この論文は、Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan, Vilonen が提起した、アフィングラスマンニアン上の球的 perverse sheafのフーリエ係数に関する幾何的予想を証明する。具体的には、交差コhomology複体 $ \mathcal{A}_\lambda $ に係数を持つ、特定のシューベルト型のストラタ $ S_\nu $ のコンパクト台付きコホモロジーが、次数 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $ に集中しており、フロベニウス作用素が $ q^{\langle\rho,\nu\rangle} $ に一致することを示す。この結果により、ホイットカー関数のカスエルマン＝シャリカの公式が幾何学的に証明される。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan and Vilonen, related to Fourier coefficients of spherical perverse sheaves on the affine Grassmannian associated to a a split reductive group. Our proof is an extension of the proof given by the first author in the case of GL(n) (see math/9801109); it relies on the study of certain resolutions of Schubert varieties in the affine Grassmannian, built from the so-called minuscule or quasi-minuscule cases.

研究の動機と目的

• アフィングラスマンニアン上の球的 perverse sheaf のフーリエ係数に関する Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan, Vilonen の幾何的予想を証明すること。
• ホイットカー関数のカスエルマン＝シャリカの公式を $ \ell $-adic コホモロジーの観点から幾何学的に解釈すること。
• $ S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu $ に係数を持つコンパクト台付きコホモロジー $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_{k} \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ が $ \nu \neq \lambda $ のときは消え、$ \nu = \lambda $ のときは次数 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $ で一様次元であることを示すこと。

提案手法

• 最小および準最小の $ \lambda $ の場合に特に注目し、$ \overline{\mathcal{Q}}_\lambda $ の幾何を調べるためにアフィンデモルール解体を用いる。
• $ \theta(x) = \psi(h(x)) $ となるような $ h: S_\nu \to \mathbb{G}_a $ という準同型写像を構成し、$ \psi $ は非自明な加法的特徴である。
• ストラティフィケーションとスペクトル系列の議論により、コンパクト台付きコホモロジー $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_{k} \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ を計算する。
• レフシェーツのトレース公式と交差コホモロジーの性質を用いて、フロベニウス固有値を制御する。
• ミルコビッチ＝ヴィロネンの同値とサタケの同型を用いて、コホモロジー的データを Langlands 双対群 $ G^\vee $ の表現論に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交差コホモロジー複体 $ \mathcal{A}_\lambda $ を係数とするストラタ $ S_\nu $ の $ \ell $-adic コホモロジーは何か？
• RQ2 $ \mathcal{A}_\mu \otimes h^*\mathcal{L}_\psi $ を係数とする $ S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu $ のコホモロジーにおけるフロベニウス作用素の作用はいかなるものか？
• RQ3 ホイットカー関数のカスエルマン＝シャリカの公式は、$ S_\nu $ のコホモロジーから幾何学的に導けるか？
• RQ4 $ \mathrm{H}^{2\langle\rho,\nu\rangle}_c(S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu, \mathcal{A}_\mu \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ の次元は何か？
• RQ5 0 から $ \nu $ への $ \mu_\bullet $-支配的パスの数は、コホモロジーの次元とどのように関係するか？

主な発見

• $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_{k} \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda) $ は次数 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $ に集中しており、フロベニウス作用素は乗算 $ q^{\langle\rho,\nu\rangle} $ に一致する。
• $ \nu \neq \lambda $ のとき、複体 $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_{k} \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ はゼロである。
• $ \nu = \lambda $ のとき、複体 $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_{k} \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ は次数 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $ で $ \overline{\mathbb{Q}}_\ell(-\langle\rho,\nu\rangle) $ に同型である。
• $ \mathrm{H}^{2\langle\rho,\nu\rangle}_c(S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu, \mathcal{A}_\mu \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ の次元は、0 から $ \nu $ への $ \mu_\bullet $-支配的パスの数に等しい。
• この結果により、カスエルマン＝シャリカの公式が幾何学的に証明され、ホイットカー関数の値が $ (-1)^{2\langle\rho,\nu\rangle} q^{\langle\rho,\nu\rangle} $ として回復される。