[論文レビュー] Rademacher chaos in symmetric spaces

С. В. Асташкин|ArXiv.org|Jun 19, 2000

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、区間および正方形上でそれぞれ対応する標準形 $\{r_i(t)r_j(t)\}_{i\neq j}$ と分解形 $\{r_i(s)r_j(t)\}_{i,j}$ の複数のラデマッハ系の同値性と補完可能性を、対称空間における解析を通じて調査する。主な貢献は、$\ell_2$ 基底との同値性の必要十分条件を確立し、$L_\infty$-に類する空間ではそのような系が非 unconditional であることを証明し、マルチニェヴィッチ空間およびオルリッチ空間における鋭い補完不能性結果を得ることにある。

ABSTRACT

Necessary and sufficient conditions for the equivalence of the Rademacher chaos to the canonical basis of l_2 and also for the complementability of the corresponding generated subspace are derived. In particular, we obtain the unimprovability of the exponential integrability of functions from this space.

研究の動機と目的

• 対称空間における複数のラデマッハ系が標準 $\ell_2$ 基底と同値となるための必要十分条件を特定すること。
• ラデマッハ・カオスによって生成される部分空間の補完可能性を対称空間において調査すること。
• 特に $L_\infty$ の近傍におけるラデマッハ・カオス部分空間の幾何的構造を明確にすること。
• ラデマッハ・カオス関数の指数的可積分性に関する鋭い境界を確立し、改善不能な成長を示すこと。
• 複数のラデマッハ系が $L_\infty$ 及び関連する空間で非 unconditional であることを示し、古典的ラデマッハ系とは対照的に示すこと。

提案手法

• 区間 $I$ から正方形 $I \times I$ への変換により、分解技術を用い、関数 $y(t) = \sum_{i \neq j} b_{i,j} r_i(t)r_j(t)$ を $x(s,t) = \sum_{i,j} a_{i,j} r_i(s)r_j(t)$ に写像する。
• 区間 $I$ 及び正方形 $I \times I$ 上の対称空間（s.s.）の理論を適用し、順序下半連続性および双対性を用いてノルムと埋め込みを解析する。
• 符号配置 $\theta_{i,j} = \pm 1$ に対し、作用素 $T_\theta$ 及び $\bar{T}_\theta$ を用い、それらがマルチニェヴィッチ空間およびオルリッチ空間への有界性を解析する。
• 切断されたカオス関数の絶対値の等測度性を用い、分解済みおよび未分解の系間のノルムを比較する。
• ローレンツ空間およびマルチニェヴィッチ空間に関する既知の結果、特に与えられた基本関数を持つマルチニェヴィッチ空間の最大性を応用する。
• 背理法に依存する：$T_\theta$ が特定の空間に有界であると仮定すると、既知の非有界性結果（例：定理7）と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のラデマッハ系 $\{r_i(t)r_j(t)\}_{i \neq j}$ が対称空間内で標準 $\ell_2$ 基底と同値となるのはいつか？
• RQ2 ラデマッハ・カオスによって生成される部分空間が対称空間内で補完可能となる条件は何か？
• RQ3 なぜ複数のラデマッハ系は $L_\infty$ 及び関連する対称空間で非 unconditional となるのか？
• RQ4 ラデマッハ・カオス関数の指数的可積分性の鋭い閾値は何か？また、それは改善不能か？
• RQ5 複数のラデマッハ・カオスの係数列は、$p < 2$ の $\ell_p$ のような古典的数列空間で特徴付けられるか？

主な発見

• 複数のラデマッハ系 $\{r_i(s)r_j(t)\}_{i,j}$ が対称空間 $X$ で $\ell_2$ 基底と同値であるための必要十分条件は、$X$ が $\varphi(t) = \log_2^{1-p}(2/t)$ を用いたローレンツ空間 $\Lambda_p(\varphi)$ と同値であること、$1 \leq p < 2$ のときである。
• $\mathcal{R}(L_\infty)$ は、$I \times I$ 上の関数 $x(s,t) = \sum a_{i,j} r_i(s)r_j(t)$ で $a \in \ell_2$ を満たすものであり、任意の $\varepsilon < 1/2$ に対して、$M(\varphi_\varepsilon)(I \times I)$ 上で補完可能でない。ここで $\varphi_\varepsilon(t) = t \log_2^{-\varepsilon + 1/2}(2/t)$ である。
• 任意の $0 < \varepsilon < 1/2$ に対して、符号配置 $\theta$ が存在し、$T_\theta: \mathcal{R}(L_\infty) \not\to M(\varphi_\varepsilon)(I \times I)$ が成り立つ。これは非有界性の鋭さを示している。
• $\bar{\mathcal{R}}(L_\infty)$ は、関数 $y(t) = \sum_{i \neq j} b_{i,j} r_i(t)r_j(t)$ からなる部分空間であり、$\varepsilon < 1/2$ のとき $M(\varphi_\varepsilon)$ 上で補完可能でない。さらに、任意の対称空間 $X$ に対して、$\|\sum b_{i,j} r_i r_j\|_X \asymp \left(\sum |b_{i,j}|^p\right)^{1/p}$ が $p \in [1,2)$ で成り立たない。
• ラデマッハ・カオス関数の指数的可積分性は改善不能である：$\sum b_{i,j}^2 < \infty$ のとき、任意の $\alpha > 0$ に対して $\exp(\alpha |y(t)|)$ は可積分であり、この境界は改善不能である。
• 古典的ラデマッハ系とは異なり、複数のラデマッハ系は $L_\infty$ またはそれに近い空間で非 unconditional であり、$L_\infty$ における非 unconditional 性の度合いは定量的に特定されている。