[論文レビュー] Radial components, prehomogeneous vector spaces, and rational Cherednik algebras

Thierry Levasseur|ArXiv.org|Jan 8, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、商が一様次元であるprehomogeneous vector space (G:V) における G-不変微分作用素の径数的成分写像と、有理Cherednik代数の球的部分代数との間の対応関係を確立する。径数的成分写像の像が、その球的部分代数に同型であり、その重複度関数は不変関数 f のBernstein-Sato多項式の根によって定まる。重複度1の場合は、C[V] 内の G-表現と f 及びその双対微分作用素 Δ で生成されるリー代数の最低重量モジュールとの間で、Howe双対性が確立される。

ABSTRACT

Let V be a finite dimensional representation of the connected complex reductive group H. Denote by G the derived subgroup of H and assume that the categorical quotient of V by G is one dimensional. In this situation there exists a homomorphism, denoted by rad, from the algebra A of G-invariant differential operators on V to the first Weyl algebra. We show that the image of rad is isomorphic to the spherical subalgebra of a Cherednik algebra, whose parameters are determined by the b-function of the relative invariant associated to the prehomogeneous vector space (H : V). If (H : V) is furthemore assumed to be multiplicity free we obtain a Howe duality between a set of representations of G and modules over a subalgebra of the associative Lie algebra A. Some applications to holonomic modules and H-equivariant D-modules on V are also given.

研究の動機と目的

• カテゴリカル商 V//G が一様次元であるとき、G-不変微分作用素の代数 D(V)^G の構造を理解すること。
• 径数的成分写像 rad: D(V)^G → D(h/W) の像を有理Cherednik代数を用いて記述すること。
• 重複度1の場合は、C[V] 内の G-表現と f 及びその双対微分作用素 Δ で生成されるリー代数の最低重量モジュールとの間で、Howe双対性を確立すること。
• Rubenthaler が放物型prehomogeneous vector space に対して得た結果を、一般の商が一様次元であるprehomogeneous vector space に拡張すること。
• Capelli型表現にこの枠組みを適用し、正則特徴的特異点を持つ D-加群および G-不変 D-加群に関する新たな結果を得ること。

提案手法

• Cartan部分空間 h ⊂ V を用いて、C[V]^G → C[h]^W に誘導される同型 ψ を介して、G-不変作用と合成された径数的成分写像 rad: D(V)^G → D(h/W) を定義する。
• rad の像が、f のBernstein-Sato多項式の根によって定まる根系に対応する有理Cherednik代数の球的部分代数に同型であることを示す。
• prehomogeneous vector space (PHVs) 及び極性表現の理論を用いて、問題を一様次元の商に還元し、Weyl代数構造の利用を可能にする。
• 重複度1の場合は、f 及び Δ ∈ S(V) で生成されるリー代数の最低重量モジュールと C[V] 内の G-表現との間で双対性を構成し、Howe双対性を一般化する。
• 枠組みを Capelli型表現に適用し、V 上の G × C-不変 D-加群の圏が、有理Cherednik代数上の θ-安定モジュールの圏に同倣であることを証明する。
• Muro と Nang の特殊ケースに関する結果を活用し、dim(V//G) = 1 を満たすすべての Capelli型 PHV に対して、この同倣が普遍的に成り立つという予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 V//G が一様次元であるとき、径数的成分写像 rad: D(V)^G → D(h/W) の像は何か？
• RQ2 商が一様次元であるprehomogeneous vector space において、有理Cherednik代数の球的部分代数は径数的成分写像とどのように関係するか？
• RQ3 重複度1のprehomogeneous vector space において、f 及びその双対微分作用素 Δ で生成されるリー代数の最低重量モジュールと C[V] 内の G-表現との間に、Howe双対性を確立できるか？
• RQ4 Capelli型条件は、V 上の G-不変 D-加群の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 dim(V//G) = 1 を満たす Capelli型 prehomogeneous vector space において、V 上の G × C-不変 D-加群の圏と、有理Cherednik代数上の θ-安定モジュールの圏との間に、カテゴリカル同倣が存在するか？

主な発見

• 径数的成分写像 rad: D(V)^G → D(h/W) の像は、f のBernstein-Sato多項式の根によって定まる重複度関数を持つ有理Cherednik代数の球的部分代数に同型である。
• dim(V//G) = 1 かつ重複度1のprehomogeneous vector space において、rad の核を明示的に記述でき、C[V] 内の G-表現と f 及び Δ で生成されるリー代数の最低重量モジュールとの間で、Howe双対性が確立される。
• dim(V//G) = 1 である Capelli型表現に対して、V 上の G × C-不変 D-加群の圏は、有理Cherednik代数上の θ-安定モジュールの圏に同倣である。
• Muro と Nang の特殊ケースに関する既知の結果を根拠として、dim(V//G) = 1 を満たすすべての Capelli型 PHV に対して、この同倣が普遍的に成り立つという予想は支持されている。
• この枠組みにより、G が単連結であるとき、特徴的特異点がノルム的コーンに含まれる正則特徴的特異点を持つ D-加群の組合せ的分類が可能になる。
• 本稿は、Rubenthaler が放物型prehomogeneous vector space に対して得た結果を、一般の商が一様次元であるprehomogeneous vector space に拡張する。