[論文レビュー] Radial Convex Solutions of Boundary Value Problems for Systems of Monge-Ampere equations

Haiyan Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単位球内における弱く結合された Monge-Ampère 方程式系に対して、Krasnoselskii の固定点定理を錐上で用いることで、非自明な径対称凸解の存在、多重性、非存在を確立する。主な結果は、非線形関数 $ f $ および $ g $ の原点および無限大における漸近的成長が解の挙動を決定づけることであり、パラメータ依存の閾値 $ \lambda_0 $ が、劣線形または超線形成長の異なる場合における解の存在を規定する。

ABSTRACT

The existence, multiplicity and nonexistence of nontrivial radial convex solutions of a system of two weakly coupled Monge-Ampere equations are established with asymptotic assumptions for an appropriately chosen parameter. The proof of the results is based on Krasnoselskii's fixed point theorem in a cone.

研究の動機と目的

• 単位球内における二つの弱く結合された Monge-Ampère 方程式の系に対して、非自明な径対称凸解の存在、多重性、非存在を分析すること。
• 非線形関数 $ f $ および $ g $ の原点および無限大における漸近的挙動が、このような解の存在に与える影響を特定すること。
• 解の存在または非存在が、$ f $ および $ g $ の成長クラスに依存するパラメータ依存の閾値 $ \lambda_0 $ を確立すること。

提案手法

• 元の境界値問題を $ v_i = -u_i $ と置換することで、正で凹関数の錐内における積分方程式系に等価に変換する。
• $ \mathbf{T}_\lambda $ という作用素に対して、錐上での Krasnoselskii の固定点定理を適用し、固定点形式に定式化する。
• 関数の錐を $ v_i' \leq 0 $、$ v_i(1) = 0 $、$ v_i(0) \geq 0 $ を満たすように定義し、元の $ u_i $ の凸性を保証する。
• 固定点の存在を、$ \| (v_1, v_2) \| = \max\{ \|v_1\|, \|v_2\| \} $ のノルムを用いて、アニュラス領域 $ \Omega_{r_i} \setminus \overline{\Omega_{r_j}} $ で分析する。
• 球の境界上で作用素 $ \mathbf{T}_\lambda $ の挙動を分析し、ノルム比較における厳密な不等号を用いて固定点定理を適用する。
• 非線形関数 $ f $ および $ g $ の極限 $ f_0, f_\infty, g_0, g\infty $ をもとにした推定を用いて作用素を評価し、矛盾または存在条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形関数 $ f $ および $ g $ の原点および無限大における漸近的成長にどのような条件下で、弱く結合された Monge-Ampère 方程式系に非自明な径対称凸解が存在するか。
• RQ2 パラメータ $ \lambda $ がこのような解の存在および多重性にどのように影響するか。
• RQ3 複数の非自明な径対称凸解が同時に存在可能か。その条件は $ f $ および $ g $ の成長にどのように依存するか。
• RQ4 解が $ \lambda > \lambda_0 $ または $ \lambda < \lambda_0 $ の場合に存在するような、正確な閾値 $ \lambda_0 $ は何か。成長クラスに応じて異なる。
• RQ5 非自明な径対称凸解が存在しないのはいつか。$ f $ および $ g $ にどのような条件が成立するときに非存在が生じるか。

主な発見

• もし $ f_0 = g_0 = 0 $ かつ $ f_\infty = g_\infty = \infty $ であれば、すべての $ \lambda > 0 $ に対して非自明な凸解が存在する。
• もし $ f_0 = g_0 = \infty $ かつ $ f_\infty = g_\infty = 0 $ であれば、すべての $ \lambda > 0 $ に対して非自明な凸解が存在する。
• もし $ f_0 = g_0 = f_\infty = g_\infty = 0 $ であれば、すべての $ \lambda > \lambda_0 $ に対して二つの異なる非自明な凸解が存在し、$ \lambda_0 > 0 $ である。
• もし $ f_0 = g_0 = f_\infty = g_\infty = \infty $ であれば、すべての $ 0 < \lambda < \lambda_0 $ に対して二つの異なる非自明な凸解が存在し、$ \lambda_0 > 0 $ である。
• もし $ f_0, g_0, f_\infty, g_\infty < \infty $ であれば、$ 0 < \lambda < \lambda_0 $ に対して非自明な凸径対称解は存在せず、$ \lambda_0 = (1/(2\varepsilon))^N $ である。ここで $ \varepsilon $ は $ f $ および $ g $ の成長バウンドに依存する。
• もし $ f_0, g_0, f_\infty, g_\infty > 0 $ であれば、$ \lambda > \lambda_0 $ に対して非自明な凸径対称解は存在せず、$ \lambda_0 = (1/(\Gamma \varepsilon))^N $ である。ここで $ \varepsilon $ は $ f $ および $ g $ の下界に依存する。