[論文レビュー] Radial Müntz-Szász Networks: Neural Architectures with Learnable Power Bases for Multidimensional Singularities

Gnankan Landry Regis N'guessan, Bum Jun Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2026

Model Reduction and Neural Networks被引用数 0

ひとこと要約

tldr: RMNは学習可能な放射状パワーベースを導入して多次元の放射状特異性を正確にモデル化し、MLPやSIRENよりはるかに少ないパラメータで性能を発揮するとともに、角度依存性やマルチセンター源への拡張を可能にします。

ABSTRACT

Radial singular fields, such as $1/r$, $\log r$, and crack-tip profiles, are difficult to model with current coordinate-separable neural architectures. We formally establish this result: any $C^2$ function that is both radial and additively separable must be quadratic, establishing a fundamental obstruction for coordinate-wise power-law models. Motivated by this result, we introduce Radial Müntz-Szász Networks (RMN), which represent fields as linear combinations of learnable radial powers $r^μ$, including negative exponents, together with a limit-stable log-primitive for exact $\log r$ behavior. RMN admits closed-form spatial gradients and Laplacians, enabling physics-informed learning on punctured domains. Across ten 2D and 3D benchmarks, RMN achieves between 1.5 and 51 times lower RMSE than MLPs and between 10 and 100 times lower RMSE than SIREN, while using only 27 parameters, compared with 33,537 for MLPs and 8,577 for SIREN. We extend RMN to incorporate angular dependence (RMN-Angular) and to handle multiple sources with learnable centers (RMN-MC), whose source-center recovery errors fall below $10^{-4}$. We also report controlled failures on smooth, strongly non-radial targets to delineate RMN's operating regime.

研究の動機と目的

• 座標分離可能アーキテクチャが苦手とする放射状特異性をモデル化する必要性の動機付け。
• 負の指数と log r 挙動の log-primitive を含む、放射場を表現する学習可能な放射パワーベース・アーキテクチャを提案。
• 座標ごとに分離可能な手法の分離性の障害と放射 Müntz 空間の密度結果を示す理論的基盤を提供。
• RMNを角度依存性とマルチセンター源へ拡張し、より複雑な特異構造を扱えるようにする。
• ベンチマークを通じた物理インフォームド学習による効率性と解釈性を示す。

提案手法

• 放射場を学習可能なべき乗 r^μ の線形結合として表現し、負の指数を許可する。
• 限界安定な log-primitive を含め、μ→0 の極限で (r^μ−1)/μ → log r となることで log r 挙動を正確に捉える。
• RMN の勾配とラプラシアンの閉形式を導出し、物理インフォームド学習を可能にする。
• 座標ごとに2次関数である必要条件を示す分離性障害を証明（定理3.15）。
• RMNを RMN-Angular に拡張し、角度依存性には球面調和関数を用いる。
• RMN-MC に拡張し、学習可能な源中心を用いて複数の特異を回復する。

Figure 3 : RMN achieves orders-of-magnitude improvement on singular functions. Top: RMSE comparison across four benchmarks. Middle left: Improvement factors. Middle right: Pareto frontier. Bottom left: Convergence. Bottom right: Architecture summary.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 学習可能な指数を持つ放射状べき乗表現は、多次元の放射状特異性を効率的に近似できるか。
• RQ2 放射構造の座標分離アーキテクチャの理論的限界は何か、そして放射 Müntz-Szász アプローチで克服可能か。
• RQ3 RMNのバリアント（RMN-Angular, RMN-MC）は角度およびマルチセンター特異性でどう機能するか。
• RQ4 ピュアな punctured domain での物理インフォームド学習下、ベンチマークにおけるRMNの実用性能はMLPやSIRENと比べてどうか。

主な発見

• RMNは 10 の 2D/3D ベンチマークで MLP より RMSE を1.5×～51×、SIREN より 10×～100×低減し、27 パラメータのみを使用。
• 学習可能な log-指数を持つ log-primitive により log r 挙動を正確に表現でき、対数特異性の安定した表現を実現。
• RMNはターゲットとなる放射関数に対して、MLP（33,537）や SIREN（8,577）よりはるかに少ないパラメータ（27）で同等の精度を達成。
• RMN-MC では最適化が成功すると源中心の回復誤差が 1e−4 未満に収束。
• 理論的な障害は、座標ごとに分離された MSN が非2次の放射構造を効率よく表現できないことを示し、RMNの放射ベース手法の正当性を裏付ける。

Figure 4 : RMSE heatmap across all experiments and methods. Green = low error (good), red = high error (poor). RMN variants dominate on radial singularities; MLP excels on smooth functions.