[論文レビュー] Radial positive definite functions and Schoenberg matrices with negative eigenvalues

Leonid Golinskiĭ, M. M. Malamud+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、R^{n+1} に拡張できない R^n 上の径数正定値関数を、Schoenbergの積分表現を用いて特徴づける。Φ_n \ Φ_{n+1} のクラスを特定し、f ∈ Φ_n \ Φ_{n+1} であるための代表測度 ν_n に対する必要十分条件を確立し、このような関数が無限に多くの負の平方（Schoenberg行列における任意に多くの負の固有値）を持つことを示し、Ω_n および Ω_n²(a·) などの明示的例を提示する。

ABSTRACT

The main object under consideration is a class $Φ_n\backslashΦ_{n+1}$ of radial positive definite functions on $\R^n$ which do not admit \emph{radial positive definite continuation} on $\R^{n+1}$. We find certain necessary and sufficient conditions for the Schoenberg representation measure $ν_n$ of $f\in Φ_n$ in order that the inclusion $f\in Φ_{n+k}$, $k\in\N$, holds. We show that the class $Φ_n\backslashΦ_{n+k}$ is rich enough by giving a number of examples. In particular, we give a direct proof of $Ω_n\inΦ_n\backslashΦ_{n+1}$, which avoids Schoenberg's theorem, $Ω_n$ is the Schoenberg kernel. We show that $Ω_n(a\cdot)Ω_n(b\cdot)\inΦ_n\backslashΦ_{n+1}$, for $a ot=b$. Moreover, for the square of this function we prove surprisingly much stronger result: $Ω_n^2(a\cdot)\inΦ_{2n-1}\backslashΦ_{2n}$. We also show that any $f\inΦ_n\backslashΦ_{n+1}$, $n\ge2$, has infinitely many negative squares. The latter means that for an arbitrary positive integer $N$ there is a finite Schoenberg matrix $\kS_X(f) := \|f(|x_i-x_j|_{n+1})\|_{i,j=1}^{m}$, $X := \{x_j\}_{j=1}^m \subset\R^{n+1}$, which has at least $N$ negative eigenvalues.

研究の動機と目的

• R^{n+1} に径数正定値拡張を許さない R^n 上の径数正定値関数のクラス Φ_n \ Φ_{n+1} を特徴づけること。
• 関数 f ∈ Φ_n が Φ_n \ Φ_{n+1} に属するための Schoenberg 測度 ν_n に対する必要十分条件を特定すること。
• Φ_n \ Φ_{n+1} に属する関数が無限に多くの負の平方を持つこと、すなわちその Schoenberg 行列が任意に多くの負の固有値をもつことを示すこと。
• Φ_n \ Φ_{n+1} に属する関数の明示的例を提示すること。特に Schoenberg 核 Ω_n と a ≠ b に対する Ω_n(a·)Ω_n(b·) のような積を含む。
• m < n のときの Schoenberg 測度 ν_n と ν_m 間の遷移公式を確立し、非拡張可能性に起因する ν_n の構造的制約を明らかにすること。

提案手法

• Schoenberg の積分表現 f(r) = ∫₀^∞ Ω_n(rt) ν_n(dt) を用い、Ω_n は Bessel 関数を含む Schoenberg 核である。
• m < n のときの遷移公式 ν_m(dx) = p_m(x) dx を適用し、p_m(x) = [2x^{m-1} / B(m/2, (n−m)/2)] ∫_x^∞ (1 − x²/u²)^{(n−m)/2 − 1} ν_n(du)/u^m である。
• Bessel 関数 J_{2k}(x) ∼ √(2/πx) cos(x − kπ − π/4) の漸近展開を用い、フーリエ係数の符号の振動を分析する。
• Schoenberg 行列 S_X(Ω_n) が少なくとも一つの負の固有値を持つような R^{n+1} 内の有限集合 X ⊂ R^{n+1} を構成し、Ω_n ∈ Φ_n \ Φ_{n+1} を直接証明する。
• r → ∞ のときの ∫ J_{2k}(2rs) ν(ds) の振る舞いを分析し、Schoenberg 行列の負の固有値の数を評価する。特定の測度条件の下で、その数が無限大に発散することを示す。
• Stieltjes モーメント問題の理論とハンケル変換の性質を用い、非拡張可能性を保証する ν_n に関する条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径数正定値関数 f ∈ Φ_n が Φ_{n+1} に属さないための Schoenberg 測度 ν_n に対する必要十分条件は何か？
• RQ2 Schoenberg の定理に依存せずに、Schoenberg 核 Ω_n が Φ_n \ Φ_{n+1} に属することを示せるか？
• RQ3 f = Ω_n²(a·) の最大拡張クラスは何か？ また、その非拡張性は次元にどのように関係するか？
• RQ4 Φ_n \ Φ_{n+1} に属する関数の Schoenberg 行列がもつ負の固有値の数は最大でどれほどか？ また、その数を任意に大きくできるか？
• RQ5 ν_n の構造的性質（例えば特異成分、または 0 に近い点での台）が f ∉ Φ_{n+1} を示すにはどのようなものか？

主な発見

• Schoenberg 核 Ω_n は Φ_n \ Φ_{n+1} に属し、Schoenberg 行列 S_X(Ω_n) が少なくとも一つの負の固有値を持つような有限集合 X ⊂ R^{n+1} を直接構成することで、この事実を証明した。
• a ≠ b のとき、積 Ω_n(a·)Ω_n(b·) は Φ_n \ Φ_{n+1} に属する。これにより、Φ_n \ Φ_{n+1} が核に限らない豊かなクラスであることが示された。
• 核の二乗は Ω_n²(a·) ∈ Φ_{2n−1} \ Φ_{2n} を満たし、元の核よりも強い非拡張性を示している。
• n ≥ 2 である任意の f ∈ Φ_n \ Φ_{n+1} は無限に多くの負の平方を持つ。任意の N ∈ ℕ に対して、少なくとも N 個の負の固有値を持つ有限 Schoenberg 行列 S_X(f) が存在する。
• Schoenberg 測度 ν_n(f) に特異成分がある、またはある ε > 0 に対して ν_n((0,ε)) = 0 であるならば、f ∉ Φ_{n+1} である。これは測度論的障害を示している。
• ∫_a^∞ ν(ds)/s^{3/2} < ∞ かつ x → 0 のとき ∫_x^∞ ν(ds)/s^{3/2} = o(x^{-1}) であると仮定すると、r → ∞ のとき S_X(f) の負の固有値の数は無限大に発散する。これにより κ⁻(f) = ∞ が導かれる。