[論文レビュー] Radial symmetry for p-harmonic functions in exterior and punctured domains

Giorgio Poggesi|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-調和関数の外部および穿孔領域におけるSerrin型の過剰決定境界条件のもとで、$P$-関数の最大原理、積分恒等式、等周不等式、および soapy bubble 型定理を用いて、径対称性を確立する。主な結果は、領域の事前の滑らかさや星型性の仮定がなくても、このような解を許容する唯一の領域は球であるということである。

ABSTRACT

We prove symmetry for the p-capacitary potential satisfying $$ \\Delta_p u = 0 \\, \\mbox{ in } \\mathbb{R}^N \\setminus \\overline{\\Omega} , \\; u=1 \\, \\mbox{ on } \\Gamma, \\; \\lim_{|x|\ ightarrow \\infty} u(x)=0 , \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; 1<p<N, $$ under Serrin's overdetermined condition $$ | \ abla u| = c \\mbox{ on } \\Gamma. $$ Here $\\Omega$ is any bounded domain on which no a priori assumption is made, and $\\Gamma$ denotes its boundary. Our result improves on a work of Garofalo and Sartori, where the same conclusion was obtained when $\\Omega$ is star-shaped. Our proof uses the maximum principle for an appropriate $P$-function, some integral identities, the isoperimetric inequality, and a Soap Bubble-type Theorem. We then treat the case $1<p=N$, improving previous results present in the literature. Finally, with analogous tools we give a new proof of symmetry for the interior overdetermined problem $$ - \\Delta_p u = K \\, \\delta_0 \\, \\mbox{ in } \\Omega , \\, u=c \\, \\mbox{ on } \\Gamma, \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; 1<p<N, $$ $$ | \ abla u| = 1 \\mbox{ on } \\Gamma , $$ in a bounded star-shaped domain $\\Omega$.

研究の動機と目的

• 外部領域における$|\nabla u| = c$というSerrinの過剰決定条件$\Gamma$で、領域$\Omega$の滑らかさや星型性を仮定しないで、$p$-調和関数の径対称性を証明すること。
• 臨界ケース$p = N$への対称性結果の拡張、ここで$p$-自己容量ポテンシャルは無限遠で対数的に増加する。
• 内部過剰決定問題（Diracデルタ源付き）の対称性に対する新しい証明を、外部ケースと同様の道具を用いて提供すること。
• $C^{2,\alpha}$正則性や星型性といった制限的仮定を排除しながら、強力な対称性結論を統一的かつ強化すること。

提案手法

• $P$-関数$P = u^{-\frac{p(N-1)}{N-p}} |\nabla u|^p$を定義し、$\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega}$で強い最大原理を適用する。
• 積分恒等式と等周不等式を用いて、境界上の$|\nabla u|$の$L^p$ノルムと幾何的量を比較する。
• Soap Bubble型定理（定理A）を適用し、平均曲率が一定でかつ等周不等式が等号成立であるならば、球対称性が導かれる。
• 弱解$W^{1,p}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega})$と弱い境界条件に依存することで、強い正則性仮定を回避する。
• 内部問題における原点近傍での解の漸近的展開を用い、デルタ源の定数$K$と表面測度を関連付ける。
• ミンコフスキーの恒等式と等周不等式の等号成立の場合を適用し、平均曲率が一定であることが示され、球対称性が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部領域における過剰決定$p$-自己容量問題が、領域が球であることを示すための条件は何か？
• RQ2 $\Omega$が星型または$C^{2,\alpha}$でない場合でも、外部領域における$p$-調和関数の径対称性を確立できるか？
• RQ3 臨界ケース$p = N$では、ポテンシャルが対数的増加を示す場合、対称性結果はどのように拡張されるか？
• RQ4 同じ手法を、デルタ関数源付きの内部過剰決定問題に適用し、対称性を証明できるか？
• RQ5 積分恒等式と$P$-関数の最大原理は、強い正則性仮定がなくても対称性を証明するために果たす役割は何か？

主な発見

• $1 < p < N$のとき、外部領域における過剰決定問題$\Delta_p u = 0$ in $\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega}$, $u = 1$ on $\Gamma$, $\lim_{|x|\to\infty} u = 0$, および$|\nabla u| = c$ on $\Gamma$は、弱解を有するための必要十分条件として、$\Omega$が球であることに他ならない。
• 領域$\Omega$の正則性や幾何的性質に関する事前の仮定がなくても結果が成り立つ。これにより、星型性を要請する既存の結果を改善する。
• 臨界ケース$p = N$では、同様の過剰決定条件のもとで、問題$\Delta_N u = 0$ in $\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega}$, $u = 1$ on $\Gamma$, および$u \sim -\ln|x|$ at infinity に対しても、同じ対称性結論が成り立つ。
• 内部問題$-\Delta_p u = K\delta_0$ in $\Omega$, $u = c$ on $\Gamma$, $|\nabla u| = 1$ on $\Gamma$では、$\Omega$が星型であれば解は径対称的であり、整合性のため$K = |\Gamma|$が必要である。
• 内部解の原点近傍における漸近的挙動は、$u(x) = \frac{p-1}{N-p}\left(\frac{|\Gamma|}{\omega_N}\right)^{\frac{1}{p-1}} |x|^{-\frac{N-p}{p-1}} + o(|x|^{-\frac{N-p}{p-1}})$ であり、これは径対称解と一致する。
• 等周不等式の等号成立と平均曲率条件$H \equiv H_0$が成り立つならば、$\Gamma$は球面であることが示され、アレクサンドロフのSoap Bubble定理により、領域が球でなければならないことが確認される。