[論文レビュー] Radial symmetry of positive solutions involving the fractional Laplacian

Patricio Felmer, Ying Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、最近のABP推定と切断技術を用いて非局所的性質を扱うために、移動平面法を用いて、分数ラプラシアンを含む楕円型方程式の正の解の回転対称性と単調性を確立する。主な結果は、非線形項および下位項に適切な条件下で、単位球内における解が回転対称的であり、径方向距離に関して厳密に単調減少であることを示している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study radial symmetry and monotonicity properties for positive solution of elliptic equations involving the fractional Laplacian. We first consider the semi-linear Dirichlet problem (-Δ)^α u=f(u)+g,\ \ { m{in}}\ \ B_1, \quad u=0\ \ { m in}\ \ B_1^c, where $(-Δ)^α$ denotes the fractional Laplacian, $α\in(0,1)$, and $B_1$ denotes the open unit ball centered at the origin in $\R^N$ with $N\ge2$. The function $f:[0,\infty) o\R$ is assumed to be locally Lipschitz continuous and $g: B_1 o\R$ is radially symmetric and decreasing in $|x|$. In the second place we consider radial symmetry of positive solutions for the equation (-Δ)^α u=f(u),\ \ { m{in}}\ \ \R^N, with $u$ decaying at infinity and $f$ satisfying some extra hypothesis, but possibly being non-increasing. Our third goal is to consider radial symmetry of positive solutions for system of the form (-Δ)^{α_1} u=f_1(v)+g_1,\ \ \ \ & { m{in}}\quad B_1,\\[2mm] (-Δ)^{α_2} v=f_2(u)+g_2,\ \ \ \ & { m{in}} \quad B_1,\\[2mm] u=v =0,\ \ \ \ & { m{in}}\quad B_1^c, where $α_1,α_2\in(0,1)$, the functions $f_1$ and $f_2$ are locally Lipschitz continuous and increasing in $[0,\infty)$, and the functions $g_1$ and $g_2$ are radially symmetric and decreasing. We prove our results through the method of moving planes, using the recently proved ABP estimates for the fractional Laplacian. We use a truncation technique to overcome the difficulty introduced by the non-local character of the differential operator in the application of the moving planes.

研究の動機と目的

• 有界領域における分数ラプラシアンを含む非線形楕円型方程式の正の解の回転対称性および単調性の性質を確立すること。
• 分数ラプラシアンのような非局所作用素に移動平面法を拡張し、その非局所的性質に起因する課題を克服すること。
• 下位項が径方向に対称的かつ単調減少である場合に、単位球内における解の対称性を分析すること。
• 非線形項が増加的で、外力項が対称的な分数ラプラシアン方程式系の対称性を研究すること。
• ABP推定と切断技術を用いて、一般の積分微分方程式に適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• 超平面を基準とした反射による議論を用いて、分数ラプラシアン設定に移動平面法を適用する。
• 非局所作用素に対する最近のアレクサンドロフ＝バケルマン＝プッチ（ABP）推定を用いて、小さな領域における解の制御を行う。
• 移動平面手続き中に分数ラプラシアンの非局所的性質を扱うために、切断技術を導入する。
• 分数ラプラシアンを特異積分作用素として表現する：$(-\Delta)^\alpha u(x) = \mathrm{P.V.} \int_{\mathbb{R}^N} \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{N+2\alpha}} dy$。
• 狭い領域における比較原理および最大原理を用いて、対称性と単調性を導出する。
• 核の性質と対称性仮定に依存して、非局所方程式に適応した移動平面法の積分形を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位球内における分数ラプラシアン方程式の正の解が、どのような条件下で回転対称性を示すか？
• RQ2 移動平面法は、分数ラプラシアンのような非局所作用素にどのように拡張可能か？
• RQ3 下位項 $g$ の単調性および径方向対称性が、解の対称性に果たす役割は何か？
• RQ4 非線形項が増加的であるような分数ラプラシアン方程式系に対し、回転対称性を確立できるか？
• RQ5 分数ラプラシアンの非局所的性質は、移動平面法のような古典的手法の適用にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 単位球 $B_1$ 内で $(-\Delta)^\alpha u = f(u) + g$ を満たす正の解は、$f$ が局所リプシッツ連続で、$g$ が径方向に対称的かつ単調減少であるとき、$r = |x|$ に対して $(0,1)$ 内で回転対称的かつ厳密に単調減少である。
• ABP推定と切断技術を組み合わせた移動平面法は、分数ラプラシアンの非局所的性質にもかかわらず、対称性を確立するのに成功している。
• 無限遠で解が減衰する $\mathbb{R}^N$ 上の方程式 $(-\Delta)^\alpha u = f(u)$ に対して、$f$ が弱い条件を満たすとき、同じ枠組みで回転対称性が保たれる。
• 非線形項 $f_1, f_2$ が増加的で、下位項 $g_1, g_2$ が径方向に対称的かつ単調減少である方程式系 $(-\Delta)^{\alpha_1}u = f_1(v) + g_1$, $(-\Delta)^{\alpha_2}v = f_2(u) + g_2$ に対しても、対称性の結果が拡張可能である。
• 核の単調性と背理法を用いて、反射差 $w_\lambda = u_\lambda - u$ が恒等的にゼロでない限り、反射領域内で正であることを示すことで、証明に依拠している。
• 核が $B_r$ 内で $K(x) = |x|^{-N-2\alpha}$ の形であり、外部で非負で径方向に対称的かつ単調減少である核をとる場合について、可積分性および単調性条件の下で一般化がなされている。