[論文レビュー] Radial terrace solutions and propagation profile of multistable reaction-diffusion equations over $\mathbb R^N$

Yihong Du, Hiroshi Matano|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$\ mathbb{R}^N$ 内の多安定反応拡散方程式の解の伝播プロファイルを特定するために、径方向テラス解を導入し、一般解が時間シフト付きの進行波の系列に一様に収束することを示した。主な結果は、伝播速度が有限個の波速度 $\ \\{c_k\\

ABSTRACT

We study the propagation profile of the solution $u(x,t)$ to the nonlinear diffusion problem $u_t-Δu=f(u)\; (x\in \mathbb R^N,\;t>0)$, $u(x,0)=u_0(x) \; (x\in\mathbb R^N)$, where $f(u)$ is of multistable type: $f(0)=f(p)=0$, $f'(0)<0$, $f'(p)<0$, where $p$ is a positive constant, and $f$ may have finitely many nondegenerate zeros in the interval $(0, p)$. The class of initial functions $u_0$ includes in particular those which are nonnegative and decay to 0 at infinity. We show that, if $u(\cdot, t)$ converges to $p$ as $t o\infty$ in $L^\infty_{loc}(\mathbb R^N)$, then the long-time dynamical behavior of $u$ is determined by the one dimensional propagating terraces introduced by Ducrot, Giletti and Matano [DGM]. For example, we will show that in such a case, in any given direction $ν\in\mathbb{S}^{N-1}$, $u(x\cdot ν, t)$ converges to a pair of one dimensional propagating terraces, one moving in the direction of $x\cdot ν>0$, and the other is its reflection moving in the opposite direction $x\cdotν<0$. Our approach relies on the introduction of the notion "radial terrace solution", by which we mean a special solution $V(|x|, t)$ of $V_t-ΔV=f(V)$ such that, as $t o\infty$, $V(r,t)$ converges to the corresponding one dimensional propagating terrace of [DGM]. We show that such radial terrace solutions exist in our setting, and the general solution $u(x,t)$ can be well approximated by a suitablly shifted radial terrace solution $V(|x|, t)$. These will enable us to obtain better convergence result for $u(x,t)$. We stress that $u(x,t)$ is a high dimensional solution without any symmetry. Our results indicate that the one dimensional propagating terrace is a rather fundamental concept; it provides the basic structure and ingredients for the long-time profile of solutions in all space dimensions.

研究の動機と目的

• 多安定反応拡散方程式の解の長期間における伝播プロファイルを理解すること。ここで非線形性 $f(u)$ は $(0,p)$ 内に複数の安定状態を持つ。
• 古典的な進行波解の振る舞い（例：$U(|x|-ct + \frac{N-1}{c}\log t + R_0)$）を、複数の安定状態が存在する多安定の場合に一般化すること。
• 径方向に一様に伝播するテラスの振る舞いを捉えることができる径方向テラス解を構成し、一般非径対称解との比較を可能にすること。
• 伝播プロファイルにおける時間シフトの正確な形、特に $o(t)$ 項を特定すること。一般の $f$ に対して、それが $\frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$ であることを示すこと。
• 一般解が $L^\infty_{\text{loc}}$ 収束により $p$ に漸近的に近づく場合、時間依存の有界な空間シフトを除いて、径方向解と同じテラス構造に従うことを証明すること。

提案手法

• 特殊な回転対称解、すなわち径方向テラス解を構成し、Ducrot, Giletti, および Matano が得た1次元伝播テラスの漸近的波的挙動と同一の振る舞いを示す。
• 比較原理を用いて、一般非径対称初期データに対して、径方向テラス解を比較ツールとして用い、下界および上界解を構築すること。
• 径方向解の等高線集合を分析し、多安定非線形性内の各安定状態に対応する明確な波フロントを同定すること。
• 解が $L^\infty_{\text{loc}}$ で $p$ に近づくことを利用し、径方向解が速度 $c_k$ を持つ進行波 $U_k$ の系列に収束することを確立すること。
• 連続する波 $c_k$ と $c_{k+1}$ 間の速度ギャップを用いて、$t \to \infty$ のとき波フロントが重ならないことを示す鋭い境界を導出すること。
• 径方向座標における対数補正の分析と $L^\infty$-有界性を示すシフト関数との関係を用いて、$o(t)$ 項が $\frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$ であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性 $f(u)$ が $(0,p)$ 内に複数の安定ゼロ点を持つ場合、$\ mathbb{R}^N$ 内の多安定反応拡散方程式の解の伝播プロファイルはどのように振る舞うか？
• RQ2 Ducrot, Giletti, および Matano が得た1次元伝播テラス構造は、$\ mathbb{R}^N$ 内の径方向および非径方向設定に拡張可能か？
• RQ3 このような解の伝播プロファイルにおける時間シフトの正確な形、特に $o(t)$ 項は何か？
• RQ4 波速度 $c_k$ と対数補正 $\frac{N-1}{c_k}\log t$ は、解の漸近的挙動においてどのように相互作用するか？
• RQ5 解が一様に進行波の和に収束する条件は何か？また、シフト関数は空間方向に依存するか？

主な発見

• $t \to \infty$ のとき、解 $u(x,t)$ は一様に $U_k(|x| - c_k t - \zeta_k(t) - \tilde{\zeta}_k(t, x/|x|))$ の和に収束する。ここで $\tilde{\zeta}_k \in L^\infty$ である。
• 時間シフト $\zeta_k(t)$ は、一般の $f$ に対して $\zeta_k(t) = c_k t + \frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$ を満たす。対数項は径方向幾何の結果である。
• 一般の $f$ に対して、時間シフトの $o(t)$ 項は正確に $\frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$ である。これは速度ギャップと構築された解の回転対称性から導出される。
• 径方向テラス解は、その大時間における径方向挙動が1次元伝播テラスと一致するように構成されており、一般解との比較が可能である。
• 収束は $x \in \mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ において一様であり、$t \to \infty$ のとき、異なる $c_k$ に対応する波フロントは非重複となり、ギャップは無限大に発散する。
• 非線形性に追加条件 (f4) が満たされる場合、シフト関数 $\tilde{\eta}_k(t, \nu)$ は $t \to \infty$ のとき定数 $R_k$ に収束し、波フロント位置の漸近的安定化を示す。