[論文レビュー] Radiation and Boundary Conditions in the Theory of Gravitation

Andrzej Trautman|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 48

ひとこと要約

本稿は一般相対性理論における重力放射のための一般化された境界条件枠組みを提案し、アインシュタインのエネルギー運動量擬テンソル形式を拡張して放射場を許容する。ヌルベクトル場と計量の微分に関する漸近的条件を導入することで、有限で座標不変なエネルギー運動量積分を保証し、空間的超曲面間の全エネルギーの差として放射エネルギーを定義する。主な結果として、放射エネルギーは波領域で非負かつ明確に定義される。

ABSTRACT

The Sommerfeld boundary conditions, applied to an asymptotically weak gravitational field, are shown to imply that the 1/r part of the curvature tensor of a space-time, satisfying the Einstein equations, is of type null in the Petrov classification and that there is then a flux of energy carried away by the outgoing gravitational wave.

研究の動機と目的

• 放射系における一般相対性理論における全エネルギー・運動量を定義する際の曖昧さを解消するため、標準的なリッヒネロヴィッツ境界条件を超えた境界条件の拡張を図ること。
• 特に外部放射が存在する状況下でも、孤立系の全放射エネルギーを一貫して計算するための規定を構築すること。
• 空間無限遠における漸近的構造を保つ座標変換のもとで、エネルギー運動量積分が有限かつ不変のままであることを保証すること。
• ピラーニとリッヒネロヴィッツが定義した純粋放射場の定義と、波領域における整合性を示すこと。

提案手法

• 放射の漸近的方向を定義するため、$ n^ u $ を空間的超曲面に直交する単位空間的法ベクトル、$ t^ u $ を単位時間的法ベクトルとして、ヌルベクトル場 $ k^ u = n^ u + t^ u $ を導入する。
• 一般化された境界条件を提唱：$ g_{ u au} = \bar{g}_{\nu\tau} + h_{\nu\tau} $ で、$ h_{\nu\tau} = O(r^{-1}) $ かつ $ h_{\nu\tau,\rho} \to b_{\nu,\tau}k_\rho + O(r^{-2}) $ とし、放射と整合する漸近的挙動を保証する。
• アインシュタインテンソルから導かれるスーパーポテンシャル形式 $ \bar{\frak{A}}_{\nu}^{\rho\tau} $ を用いて、発散がゼロとなるエネルギー運動量擬テンソル $ \frak{t}_{\nu}^{\rho} $ を定義する。アインシュタイン方程式によりその発散がゼロであることを保証する。
• 空間的超曲面 $ \tau $ における表面積分により全エネルギー運動量 $ P_\nu[\tau] $ を定義し、放射エネルギーを時空的超曲面 $ \bar{\tau} $ を通じたフラックス積分により計算される差 $ p_\nu = P_\nu[\tau] - P_\nu[\tau'] $ として定義する。
• 境界条件を保つ座標変換のもとで $ P_\nu $ の不変性を確立する。$ g_{\nu\tau} $ および $ h_{\nu\tau} $ の変換則を用い、$ \frak{A}'_{\nu}{}^{\rho\tau}k'_{\rho}n'_{\tau} = \frak{A}_{\nu}{}^{\rho\tau}k_{\rho}n_{\tau} + O(r^{-3}) $ を示す。
• 擬テンソルの一次近似挙動を導出：$ \frak{t}_{\nu}^{\rho} = \tau k_\nu k^\rho + O(r^{-3}) $、ここで $ 4\tau\bar{\rho} = h^{\rho\tau}(h_{\rho\tau} - \frac{1}{2}\bar{\rho}^{\rho\tau}h_{\rho\tau}) $ であり、放射エネルギーが非負であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における境界条件を、標準的な $ O(r^{-1}) $ の減衰を超えて、重力放射場を一貫して記述できるように一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 外部放射が存在する状況下で、全エネルギー運動量積分 $ P_\nu[\tau] $ の有限性と座標不変性を保証する条件は何か？
• RQ3 提案された形式は、ピラーニとリッヒネロヴィッツによる純粋放射場の定義と、特に漸近的波領域でどのように関係しているか？
• RQ4 二つの空間的超曲面間の全エネルギーの差として全放射エネルギーを厳密に定義でき、かつそれが非負であるか？
• RQ5 ヌルベクトル場 $ k^\nu $ は、無限遠における重力放射の方向と構造を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• $ h_{\nu\tau} = O(r^{-1}) $ および $ h_{\nu\tau,\rho} \to b_{\nu,\tau}k_\rho + O(r^{-2}) $ を含む提案された境界条件は、放射場の漸近的挙動を許容しつつ、$ P_\nu[\tau] $ の有限性と、許容可能な座標変換のもとでの不変性を保証する。
• 一般化された境界条件が満たされている限り、全エネルギー運動量 $ P_\nu[\tau] $ は適切に定義され、超曲面 $ \tau $ の選択に依存せず、無限遠で恒等写像に還る座標変換のもとで不変のままである。
• 放射エネルギー $ p_\nu = P_\nu[\tau] - P_\nu[\tau'] $ はフラックス積分 $ \bar{p}_\nu = \bar{\tau} k_\nu k^\nu $ で与えられ、$ \bar{\tau} \to O(r^{-2}) $ であり、$ \tau $ の正値性により非負である。物理的整合性が保証される。
• 波領域では、曲率テンソルは $ R_{\nu\tau\rho\theta} \to \frac{1}{2}k_{[\nu}i_{\tau][\rho}k_{\theta]} $ と振る舞い、$ i_{\nu\tau} = O(r^{-1}) $ であり、ウェイルテンソルはペトロフ＝ピラーニ型IIに属し、純粋放射場と整合する。
• $ R_{\nu\tau} \to \rho k_\nu k_\tau + O(r^{-3}) $ および $ k^\nu R_{\nu\tau\rho\theta} \to 0 $、$ k^{[\nu}R^{\rho]\tau}\rho\theta \to 0 $ の条件は、$ r \to \infty $ の極限でリッヒネロヴィッツによる純粋放射場の定義と一致し、既存の形式との整合性を示す。
• 電磁場が存在する場合でも形式は有効であり、$ \bar{\tau} = O(r^{-2}) $ であり、放射エネルギーは非負のままである。これにより、このアプローチの堅牢性が確認される。