[論文レビュー] Radiative effects on the thermoelectric problems

Luisa Consiglieri|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、不連続な主要係数を有する2次元熱電問題における非線形放射境界条件を満たす弱解の存在に対する十分条件を、明示的な $ W^{1,p} $-推定に基づく固定点論的アプローチを用いて確立する。主な貢献は、正則性定数が問題データにどのように依存するかを明示的に導出することであり、標準的手法を超えて解の勾配の高次可積分性を可能にする。

ABSTRACT

There are two main directions in this paper. One is to find sufficient conditions to ensure the existence of weak solutions to thermoelectric problems. At the steady-state, these problems consist by a coupled system of elliptic equations of the divergence form, commonly accomplished with nonlinear radiation-type conditions on at least on a nonempty part of the boundary of a $C^1$ domain. The model under study takes the thermoelectric Peltier and Seebeck effects into account, whose describe the Joule-Thomson effect. The proof method makes recourse of a fixed point argument. To this end, well-determined estimates are our main concern. The paper is in the second direction for the derivation of explicit $W^{1,p}$-estimates $(p>2)$ for solutions of nonlinear radiation-type problems, where the leading coefficient is assumed to be a discontinuous function on the space variable. In particular, the behavior of the leading coefficient is conveniently explicit on the estimate of any solution. This regularity result is sufficiently general to contribute to other problems, in which the dependence on the values of the involved constants is essential, instead of the problem under study only.

研究の動機と目的

• 2次元における非線形熱電問題に対して、放射境界型境界条件を満たす弱解が少なくとも1つ存在することを証明すること。
• 主係数が空間的に不連続である場合の解について、$ p>2 $ の明示的 $ W^{1,p} $-推定を導出すること。
• 正則性定数が問題データに依存する定量的関係を提供し、背理法に基づく手法の限界を克服すること。
• 非線形Peltier効果およびSeebeck効果を有する熱電システムにおける固定点論的アプローチの適用範囲を拡張すること。
• 熱力学的原則に従い、非負のエントロピー生成が確認されることで物理的整合性を保証すること。

提案手法

• ジュール＝トムソン効果をPeltier係数およびSeebeck係数を介して組み込んだ、発散型の楕円型方程式系として熱電問題を定式化する。
• 弱作用の位相における可分なバナッハ空間 $ V_{p, u} $ における固定点論的議論を、Schauderの定理のTychonoffによる拡張を用いて展開する。
• 背理法を避けるために、慎重な事前推定とコンパクト性の議論を通じて $ W^{1,p} $-推定を導出する。これにより、明示的な定数の依存関係が保持される。
• Lebesgueの支配収束定理およびKrasnoselskiの定理を用いて、非線形Nemytskii作用素 $ \rho, \theta \mapsto \sigma(\theta), \alpha_s(\theta) $ における極限の取り扱いを行う。
• 境界値の弱収束および点収束を保証するため、トレース定理および $ p>n=2 $ の場合のコンパクト埋め込み $ W^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow C(\overline{\Omega}) $ を用いる。
• ギブスの状態方程式および熱力学的恒等式を用いて、非負のエントロピー生成が示されることで物理的整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元熱電問題に非線形放射境界条件が付随する場合、弱解が存在するための条件は何か？
• RQ2 熱伝導および電気伝導係数が空間的に不連続である場合、解について明示的な $ W^{1,p} $-推定をどのように導出できるか？
• RQ3 正則性定数が問題データにどのように依存するか。また、背理法に基づく手法とはどのように異なるか？
• RQ4 非線形放射則および温度依存係数を有する条件下で、弱位相における固定点論的議論が解の存在を保証できるか？
• RQ5 提案された熱電モデル下でエントロピー生成は非負であるか。これは熱力学的整合性を確認するものか？

主な発見

• 弱解が少なくとも1つ存在するための十分条件として、$ \mathcal{Q}(1) < 1 $ という条件が導出され、中間値の定理により固定点の存在が保証される。
• 本稿では、問題データの関数としての $ W^{1,p} $-正則性定数の明示的表現を提供しており、背理法に基づく手法とは対照的に画期的な貢献である。
• 弱解の勾配は $ p>2 $ に対して $ L^p(\Omega) $ に属し、主係数が不連続であっても正則性が保たれる。
• コンパクト埋め込みおよび $ p>n=2 $ の場合の $ L^\infty $ における強い収束が確立され、境界条件における非線形項の収束が可能になる。
• 対称的かつ正定値または半正定値行列 $ k $ および $ \sigma $ の下で、エントロピー生成 $ \sigma_s \geq 0 $ が証明され、熱力学的整合性が確認される。
• 温度依存係数のため、キルホッフ変換を避けることで、非線形モデルへの一般性が保たれる。