[論文レビュー] Radical-injectivy in the category S-Act

M. Haddadi, seyed mojtaba naser Sheykholislami|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ホインケ根を用いてS-代数のr-単射性を導入し、加群論的τ-単射性を一般化する。well-behavedな性質を確立し、r-単射S-代数のベア＝スコルニャコフ基準を証明する。さらに、rがクルーシュ＝アミツル根であるとき、特定の条件下でr-単射S-代数が通常の単射S-代数と一致し、最終的に新しい根r_Gを用いた単射S-代数の特徴付けに至る。

ABSTRACT

Various generalizations of the concept of injectivy, in particular injectivy with respect to a specific class of morphisms, have been intensively studied throughout the years in different categories. One of the important kinds of injectivy studied in the category R-Mod of R-modules is $τ$-injectivy, for a torsion theory $τ$, or in the other words r-injectivy, where r is the induced idempotent radical by $τ$. In this paper, we introduce the notion of r-injectivy, for a Hoehnke radical r in the category S-Act of S-acts and we study the main properties of this kind of injectivy. Indeed, we show that this kind of injectivy is well behavior and also we present a Bear Theorem for r-injective S-acts. We then consider r-injectivy for a Kurosh-Amitsur radical r and we give stronger results in this case. Finally we present conditions under which r-injective S-acts are exactly injective ones and we give a characterization for injective S-acts

研究の動機と目的

• R-Modにおけるτ-単射性をホインケ根を用いてS-Actの圏に一般化すること。
• ホインケ根rから誘導される閉包作用素から生じる、r-モノのクラスに対して相対的なr-単射性を定義すること。
• r-単射性のwell-behavedな性質を確立し、r-単射S-代数のベア＝スコルニャコフ型基準を証明すること。
• rがクルーシュ＝アミツル根である場合のr-単射性を調査し、より強い構造的結果を得ること。
• 特定のクルーシュ＝アミツル根r_Gに対して、r_G-単射S-代数が通常の単射S-代数と一致することを示し、単射S-代数を特徴付けること。

提案手法

• 各ホインケ根rに対して閉包作用素c^rを関連付け、r-モノをc^r-稠密な単射として定義する。
• r-モノの構造的性質を調査し、それらのホモモールフィズムや拡張における振る舞いを検討する。
• r-単射性をr-モノ上の拡張性質として定義し、その挙動に関する基本定理を証明する。
• 循環S-代数の大きな部分代数上の拡張を分析することで、r-単射性のベア＝スコルニャコフ基準を確立する。
• ゼロ元とゼロ写像を持つ循環部分代数に基づいて、特定のクルーシュ＝アミツル根r_Gを構成する。
• スコルニャコフの基準と閉包性質を用いて、r_G-単射性が通常の単射性を特徴付けることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュール理論におけるτ-単射性は、ホインケ根を用いてどのようにS-Actの圏に一般化できるか？
• RQ2 r-単射性が定義されるr-モノの構造的および圏論的性質は何か？
• RQ3 r-単射性がS-Actにおいて通常の単射性と一致する条件は何か？
• RQ4 rがクルーシュ＝アミツル根である場合、特に単射包や部分代数に関して、どのようなより強い結果が得られるか？
• RQ5 r_G-単射性が通常の単射S-代数を特徴付けるような、標準的な根r_Gを構成できるか？

主な発見

• rがクルーシュ＝アミツル根であるとき、r-単射性はwell-behavedであり、r-単射包の取り扱いにおいて閉じている。
• クルーシュ＝アミツル根rに対して、Aがr-単射であるとき、Σ_r(A)に属する任意の部分代数Bはr-単射である。
• rがクルーシュ＝アミツル根であるとき、r-単射包に関して、r-根クラスR_rは閉じている。
• ゼロ元とゼロ写像を持つ循環部分代数に基づいて定義された根r_Gは、クルーシュ＝アミツル根である。
• r_G-単射S-代数は、ちょうど単射S-代数である。これにより、単射S-代数の新たな特徴付けが得られる。
• 単射性のより強いベア＝スコルニャコフ基準が確立された：S-代数が単射であるための必要十分条件は、ゼロ元を持ち、かつ任意の循環S-代数の大きな部分代数からそれへのホモモールフィズムが、その循環S-代数全体に拡張可能であることである。