[論文レビュー] Radii of starlikeness and convexity of Wright functions

Árpád Baricz, Evrim Toklu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2017

Analytic and geometric function theory被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ミタグ・レフラー展開と実零点の性質を用いて、ワイエルストラス関数の3つの正規化形の星型・凸性の半径を調査する。関連する超越方程式の最小正の零点にオイラー＝レイリーの不等式を適用することで、星型・凸性の零次の半径のタイトな下界と上界が得られ、古典的ベッセル関数に関する既知の結果がワイエルストラス関数の枠組みへと拡張される。

ABSTRACT

In this paper our aim is to find the radii of starlikeness and convexity of the normalized Wright functions for three different kind of normalization. The key tools in the proof of our main results are the Mittag-Leffler expansion for Wright function and properties of real zeros of Wright function and its derivative. In addition, by using the Euler-Rayleigh inequalities we obtain some tight lower and upper bounds for the radii of starlikeness and convexity of order zero for the normalized Wright functions. The main results of the paper are natural extensions of some known results on classical Bessel functions of the first kind. Some open problems are also proposed, which may be of interest for further research.

研究の動機と目的

• ワイエルストラス関数の3つの正規化形の星型・凸性の半径を特定すること。
• 古典的ベッセル関数に関する既知の結果をワイエルストラス関数のより広いクラスへと拡張すること。
• オイラー＝レイリーの不等式を用いて、星型・凸性の零次の半径のタイトな下界と上界を確立すること。
• ラグレール＝ポーヤクラスを用いて、ワイエルストラス関数およびその導関数の実零点構造を分析すること。
• ワイエルストラス関数の幾何的性質に関する今後の研究のための未解決問題を提示すること。

提案手法

• ワイエルストラス関数およびその導関数のミタグ・レフラー展開を用いて、それらを実零点を用いた無限積として表現する。
• ラグレール＝ポーヤクラス理論を適用し、導関数のすべての零点が実かつ単純であることを保証する。
• 逆零点のべき和にオイラー＝レイリーの不等式を適用し、最小正の零点の境界を導出する。
• 対数微分の無限級数表現を導出し、係数を一致させ、べき和を計算する。
• 対数微分の実部を含む解析的基準を用いて、星型・凸性を特徴付ける。
• トランセンドental方程式が半径を定義する際に解の一意性を、単調性の議論によって確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイエルストラス関数の3つの正規化形の正確な星型・凸性の半径は何か？
• RQ2 ワイエルストラス関数の星型・凸性の半径は、古典的ベッセル関数のそれらとどのように比較できるか？
• RQ3 星型・凸性の零次の半径に対して、タイトな下界と上界を導出できるか？
• RQ4 ワイエルストラス関数およびその導関数の実零点は、幾何的性質を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 幾何関数論の結果をワイエルストラス関数へと拡張する際に生じる未解決の問題は何か？

主な発見

• 正規化ワイエルストラス関数の零次の星型性の半径は、関数の導関数と関数自体の比を含む超越方程式の最小正の解として与えられる。
• 零次の凸性の半径は、第二導関数を含む別の超越方程式の最小正の解として定まる。
• ワイエルストラス関数の導関数の零点の逆二乗の第一および第二べき和にオイラー＝レイリーの不等式を適用することで、零次の星型性の半径のタイトな境界が得られる。
• 零次の凸性の半径に対しても、第二導関数の零点の逆数の第一および第二べき和を用いて、同様の境界が導出される。
• 導関数の最小正の零点が零次の星型性の半径を決定し、この零点は孤立しており単純である。
• 結果は、第一種ベッセル関数に関する既知の結果を一般化しており、ワイエルストラス関数の幾何的性質において類似の振る舞いを示している。