[論文レビュー] Rainbow connection numbers of complementary graphs

Xueliang Li, Yuefang Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、グラフ $G$ の補グラフ $\overline{G}$ における構造的制約を分析することにより、$G$ のレインボー接続数 $rc(G)$ を調査する。$\overline{G}$ が直径 2 または 3 でない、かつ正確に二つの成分を持ちそのうち一つが自明である場合を除けば、$rc(G) \leq 4$ を示す。さらに $\overline{G}$ が三角形を含まないという追加条件のもとで、$rc(G) \leq 6$ を示し、具体的な構成によりその上限がタイトであることを示している。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph, where adjacent edges may be colored the same, is a rainbow path if no two edges of it are colored the same. A nontrivial connected graph $G$ is rainbow connected if there is a rainbow path connecting any two vertices, and the rainbow connection number of $G$, denoted by $rc(G)$, is the minimum number of colors that are needed in order to make $G$ rainbow connected. In this paper, we provide a new approach to investigate the rainbow connection number of a graph $G$ according to some constraints to its complement graph $\bar{G}$. We first derive that for a connected graph $G$, if $\bar{G}$ does not belong to the following two cases: $(i)$~$diam(\bar{G})=2,3$, $(ii)~\bar{G}$ contains exactly two connected components and one of them is trivial, then $rc(G)\leq 4$, where $diam(G)$ is the diameter of $G$. Examples are given to show that this bound is best possible. Next we derive that for a connected graph $G$, if $\bar{G}$ is triangle-free, then $rc(G)\leq 6$.

研究の動機と目的

• 補グラフ $\overline{G}$ に課される十分条件を特定し、連結グラフ $G$ における有界なレインボー接続数 $rc(G)$ を保証すること。
• 特に直径 2 または 3 および自明な成分を含む非連結性といった、$\overline{G}$ 内の構造的障害を同定し、それらが $rc(G)$ の無限大化を引き起こす要因となること。
• $\overline{G}$ が三角形を含まないという追加条件のもとで $rc(G)$ の上限を改善し、$rc(G) \leq 6$ を示すこと。
• 具体的な構成により、これらの上限が最良であることを示し、それ以上改善できないことを証明すること。

提案手法

• $\overline{G}$ の構造を分析し、特に直径と連結性に注目することで、$rc(G)$ が有界となる条件を導出する。
• 部分グラフのレインボー接続数 $rc(H_i)$ を用いて $rc(G)$ を有界化するため、頂点を連結部分グラフに分割するための補題 2.2 を適用する。
• 誘導部分グラフのレインボー接続数と $rc(G)$ の関係を関係付けるために、連結な双方向支配集合に関する定理 2.5 を用いる。
• 頂点の中心度や近傍構造に基づく、エッジ彩色の議論と場合分けを実施する。
• $\overline{G}$ の特定のエッジ彩色を構成することで、提示された上限に到達し、特に三角形を含まない性質を活用する。
• 既知の完全多部グラフに関する結果（例：$rc(K_{s,t}) \leq 4$）を、解析の基盤として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような $\overline{G}$ の条件下で $rc(G)$ が小さな定数、特に 4 に有界となるか？
• RQ2 $\overline{G}$ のどの構造的特徴（直径や成分数など）が $rc(G)$ の無限大化を引き起こすか？
• RQ3 $\overline{G}$ が三角形を含まないという性質が $rc(G)$ の上界に与える影響は何か？
• RQ4 $\overline{G}$ が三角形を含まない場合に $rc(G) \leq 6$ が達成可能であり、かつその上限がタイトであるか？
• RQ5 導出された $rc(G)$ の上限のタイト性を示す明示的な構成は存在するか？

主な発見

• $\overline{G}$ が直径 2 または 3 でなく、正確に二つの成分を持ちそのうち一つが自明でない限り、$rc(G) \leq 4$ であり、この上限は最良である。
• $\overline{G}$ が三角形を含まない場合、$rc(G) \leq 6$ が成り立ち、これは $\overline{G}$ の直径や成分構造に依存しない。
• 直径 3 であり、かつ三角形を含まない $\overline{G}$ の場合、$rc(G) \leq 5$ であり、この部分にはよりタイトな上限が得られる。
• 直径 2 であるか、自明な成分を含む非連結な $\overline{G}$ の場合、$rc(G)$ は、垂れ枝の頂点数や切断辺の数に応じて任意に大きくできる。
• $rc(G) \leq 4$ の上限は、上記の条件下で $rc(G) = 4$ となる明示的構成により、タイトであることが示されている。
• $\overline{G}$ が三角形を含まないという仮定により、$G$ はクラウフフリーであることが保証され、これにより連結な双方向支配集合を用いて $rc(G) \leq 6$ を導出できる。