[論文レビュー] Rainbow Matchings and Hamilton Cycles in Random Graphs

Deepak Bal, Alan Frieze|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ランダムなk一様、k部超グラフおよびエッジ彩色付きランダムグラフにおいて、エッジ数がn log nのオーダーにあるとき、雨ざらし完全マッチングまたは雨ざらしハミルトンサイクルが高確率で存在することを確立している。著者らは、最大の雨ざらしマッチング数と平均の比を制御する確率的技法を用い、Johansson, Kahn, および Vuの手法を拡張して色制約を扱い、n色を用いたランダムグラフおよび超グラフにおける雨ざらし構造の漸近的最適な閾値を証明している。

ABSTRACT

Let $HP_{n,m,k}$ be drawn uniformly from all $k$-uniform, $k$-partite hypergraphs where each part of the partition is a disjoint copy of $[n]$. We let $HP^{(\k)}_{n,m,k}$ be an edge colored version, where we color each edge randomly from one of $\k$ colors. We show that if $\k=n$ and $m=Kn\log n$ where $K$ is sufficiently large then w.h.p. there is a rainbow colored perfect matching. I.e. a perfect matching in which every edge has a different color. We also show that if $n$ is even and $m=Kn\log n$ where $K$ is sufficiently large then w.h.p. there is a rainbow colored Hamilton cycle in $G^{(n)}_{n,m}$. Here $G^{(n)}_{n,m}$ denotes a random edge coloring of $G_{n,m}$ with $n$ colors. When $n$ is odd, our proof requires $m=\om(n\log n)$ for there to be a rainbow Hamilton cycle.

研究の動機と目的

• k一様、k部超グラフにn色を用いたとき、雨ざらし完全マッチングが高確率で存在するためのエッジ数の閾値を特定すること。
• n色を用いたエッジ彩色付きランダムグラフにおいて、雨ざらしハミルトンサイクルが存在する条件を確立すること。
• Johansson, Kahn, および Vuの手法を拡張し、ランダム超グラフにおける色制約を扱えるようにすること。
• n色とm = Θ(n log n)エッジを用いたランダムグラフにおける雨ざらしハミルトンサイクルの存在に関する予想を解消し、定数因子の範囲で確認すること。

提案手法

• 各エッジが独立にn色のうちの1つに割り当てられるランダム彩色モデルを用いる。
• 2段階のランダムプロセスを適用する：まず完全k部k一様超グラフをサンプリングし、その後エッジをランダムに彩色する。
• Φiをi個のエッジが削除された後のグラフにおける雨ざらし完全マッチングの数と定義し、比ξi = 1 − Φi/Φi−1を分析する。
• 濃度不等式とエントロピーの議論を用いて、特定のエッジを含む雨ざらしマッチング数の最大値と平均値の比を制御する。
• スイッチング法を用いて、特定の色を用いたマッチング数を中央値と比較し、最大値が平均値と著しく大きくならないことを示す。
• JansonとWormaldによるn色を用いた2r正則グラフに関する結果を活用し、m = Kn log nエッジを用いたランダムグラフにおいて雨ざらしハミルトンサイクルが存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k一様、k部超グラフにn色を用いたとき、雨ざらし完全マッチングが高確率で存在するための最小エッジ数は何か？
• RQ2 n色とm = Kn log nエッジを用いたランダムエッジ彩色付きグラフは、高確率で雨ざらしハミルトンサイクルを含むか？
• RQ3 Johansson, Kahn, および Vuの手法を、超グラフにおける色制約を扱えるように適合可能か？
• RQ4 n色を用いたランダムグラフにおける雨ざらしハミルトンサイクルの存在に関する閾値m = Θ(n log n)は、漸近的に最適か？
• RQ5 nが奇数のときの雨ざらしハミルトンサイクルの挙動は何か？また、閾値はm = Θ(n log n)を超えて増加する必要があるか？

主な発見

• m ≥ Kn log nエッジとn色を用いたk一様、k部超グラフにおいて、Kが十分に大きいとき、雨ざらし完全マッチングが高確率で存在する。
• nが偶数でm = Kn log nのとき、G(n)n,mにおいて雨ざらしハミルトンサイクルが高確率で存在し、マッチング結果の閾値と一致する。
• nが奇数の場合、雨ざらしハミルトンサイクルを保証するためには閾値をm = ω(n log n)に引き上げる必要があるが、著者らはこれが証明のアーティファクトであると予想している。
• n色を用いた完全k部k一様超グラフにおける雨ざらし完全マッチングの数は、高確率で(n!)k / nnの周辺に集中する。
• この手法では、エッジごとの雨ざらしマッチング数の最大値と平均値の比を制御し、それが平均のO(1)倍であることを示している。これは証明の鍵となる。
• ランダムグラフへの応用では、辺集合を8つの部分に分解し、それぞれの部分に雨ざらし完全マッチングが高確率で存在することを示し、それらを組み合わせて雨ざらしハミルトンサイクルを構成する。