[論文レビュー] Rainbow matchings and partial transversals of Latin squares

András Gyárfás, Gábor N. Sárközy|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、適切に辺彩色されたグラフにおけるレインボー・マッチングのサイズおよびラテン平方における部分横断のサイズについて、新たな下界を確立する。色別に互いに素なマッチングを分析し、短いサイクルを避けることで、少なくとも $4\delta(G) - 3$ 個の頂点を持つ任意の適切に彩色されたグラフは、サイズ $\delta(G)$ のレインボー・マッチングを含むことを証明する。また、$2\delta(G)$ 個の頂点を持つグラフに対しては、サイズが $\delta(G) - 2\delta(G)^{2/3}$ 以上のレインボー・マッチングが保証され、ラテン平方および横断に関する漸近的結果が拡張される。

ABSTRACT

In this paper we consider properly edge-colored graphs, i.e. two edges with the same color cannot share an endpoint, so each color class is a matching. A matching is called \it rainbow m if its edges have different colors. The minimum degree of a graph is denoted by $δ(G)$. We show that properly edge colored graphs $G$ with $|V(G)|\ge 4δ(G)-3$ have rainbow matchings of size $δ(G)$, this gives the best known estimate to a recent question of Wang. Since one obviously needs at least $2δ(G)$ vertices to guarantee a rainbow matching of size $δ(G)$, we investigate what happens when $|V(G)|\ge 2δ(G)$. We show that any properly edge colored graph $G$ with $|V(G)|\ge 2δ$ contains a rainbow matching of size at least $δ- 2δ(G)^{2/3}$. This result extends (with a weaker error term) the well-known result that a factorization of the complete bipartite graph $K_{n,n}$ has a rainbow matching of size $n-o(n)$, or equivalently that every Latin square of order $n$ has a partial transversal of size $n-o(n)$ (an asymptotic version of the Ryser - Brualdi conjecture). In this direction we also show that every Latin square of order $n$ has a {\em cycle-free partial transversal} of size $n-o(n)$.

研究の動機と目的

• 適切に辺彩色されたグラフにおいてサイズ $\delta(G)$ のレインボー・マッチングを保証するために必要な頂点数の最小値を特定する、Wangの問いを解決すること。
• 頂点数 $|V(G)| \geq 2\delta(G)$ のグラフにおけるレインボー・マッチングのサイズに関する既存の境界を改善すること、特にラテン平方および横断の文脈において。
• 構造的制約をサイズの範囲を超えて考慮し、ラテン平方に大きなサイクルを含まない部分横断が存在することを確立すること。

提案手法

• 各色クラスがマッチングであるような適切に彩色されたグラフを分析し、反復的な辺選択と禁止辺の除去を用いてレインボー・マッチングを構成する。
• 線形レインボー部分有向グラフを維持し、長さ $\leq k$ のレインボー・サイクルを避けるために、頂点集合 $A_i$ および $B_i$ の再帰的構成を用いる。
• 長さ $\leq k-1$ の既存のレインボー経路に基づく禁止辺基準を適用し、サイクルの形成を防ぎ、小規模なサイクルに対して $G_i$ が無閉路のままであることを保証する。
• 各頂点あたりの禁止辺数を数えることで境界を導出し、各新しい色クラスに対して削除される辺数の上限を導く。
• 新しい集合 $A_i \setminus A_{i-1}$ を $B_i \setminus B_{i-1}$ 従って定義するシフト機構を導入し、経路構造と互いに素性を保つ。
• 部分横断サイズの下界を確立するための重要な不等式 $n - t \leq 6n^{(k-1)/k}$ を導出する。ここで $t$ は横断のサイズである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切に辺彩色されたグラフにおいて、サイズ $\delta(G)$ のレインボー・マッチングを保証するために必要な頂点数の最小値は何か？
• RQ2 $|V(G)| \geq 2\delta(G)$ のとき、サイズ $\delta(G) - 2\delta(G)^{2/3}$ のレインボー・マッチングを保証できるか？
• RQ3 与えられた $k$ に対して、長さ $\leq k$ のサイクルを避けるような大きな部分横断がラテン平方に存在するか？
• RQ4 サイクルを含まない横断に制限することで、漸近的横断境界の誤差項を改善できるか？
• RQ5 任意のサイズ $n$ のラテン平方において、すべてのサイクルを含まないサイズ $n - 2$ の部分横断を構成することは可能か？

主な発見

• 少なくとも $4\delta(G) - 3$ 個の頂点を持つ任意の適切に彩色されたグラフは、サイズ $\delta(G)$ のレインボー・マッチングを含み、従来の境界を改善する。
• 頂点数 $|V(G)| \geq 2\delta(G)$ のグラフに対しては、サイズが $\delta(G) - 2\delta(G)^{2/3}$ 以上のレインボー・マッチングが存在し、ラテン平方に関する漸近的結果が拡張される。
• 任意の $k \geq 2$ に対して、サイズ $n - 6n^{(k-1)/k}$ 以上で長さ $\leq k$ のサイクルを含まない部分横断が、すべてのサイズ $n$ のラテン平方に存在する。
• この結果を $k = \lfloor \log n / (3\log\log n) \rfloor$ に適用することで、サイズが $\left(1 - \frac{4\log\log n}{\log n}\right)n$ 以上のサイクルを含まない部分横断が得られる。
• この結果は、ラテン平方が線形サイズからサブロジスティック誤差項を差し引いたサイクルを含まない部分横断を有することを示し、Ryser-Brualdi予想の強化版を支持する。
• 本稿は、短いレインボー・サイクルを避けるようにしながら反復的に辺を追加することで、大きなレインボー・マッチングおよびサイクルを含まない横断を構成するための構成的フレームワークを提供する。