[論文レビュー] Rainbow Neighbourhood Equate Number of Graphs

Johan Kok, Sudev Naduvath|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、グラフ G に対するランダムネス・ネIGHボラフ・エクイテ数（ren(G)）を定義する。これは、誘導部分グラフが J-彩色（すべての頂点がすべての色を含むランダムネス・ネIGHボラフに属するような適切な頂点彩色）を許容するようにするための頂点の最小数として定義される。本研究では、ren(G) の基礎的性質を確立し、彩色次数や彩色直径といった関連する不変量を定義し、特にグラフの合成に関する構造的結果を検討する。主な発見は、グラフの合成において ren(G) がどのように振る舞うかに関するものである。

ABSTRACT

In this paper, a new invariant of a graph namely, the rainbow neighbourhood equate number of a graph $G$ denoted by $ren(G)$ is introduced. It is defined to be the minimum number of vertices whose removal results in a subgraph that admits a $J$-colouring. The new notions of chromatic degree of a vertex $d_χ(v)$, the maximum and minimum chromatic degrees of $G$ denoted, $Δ_χ(G)$ and $δ_χ(G)$ respectively, are also introduced. The chromatic diameter of $G$ denoted, $d(G,χ)$ is introduced as well. The study of $ren(G)$ appears to be very complex for graphs in general so for now, only introductory results will be presented. Finally, the concept of a chromatic degree sequence is proposed as a new research direction.

研究の動機と目的

• ランダムネス・ネIGHボラフ・エクイテ数（ren(G)）と呼ばれる新しいグラフ不変量を定義し、その性質を調査すること。これは、グラフが J-彩色を許容するようにするための最小頂点削除数を測定するものである。
• 彩色次数 dχ(v)、最大/最小彩色次数 Δχ(G)、δχ(G)、および彩色直径 d(G,χ) という新しいグラフパラメータを導入し、それらを分析すること。
• J-彩色下でのグラフの構造的性質を調査し、部分グラフがそのような彩色を許容する条件を同定すること。
• 特に G∘H におけるグラフ合成演算に関して、ren(G) の振る舞いを検討し、部分グラフの彩色特性に基づいた再帰的公式を導出すること。
• グラフ彩色に基づく「彩色次数列」の概念を提案し、グラフィカル次数列と類似した新しい研究分野を提示すること。

提案手法

• ren(G) を、G から頂点を最小限に削除したとき、誘導部分グラフ H が J-彩色（すべての頂点がすべての色を含むランダムネス・ネIGHボラフに属するような適切な頂点彩色）を許容するような頂点数の最小値として定義する。
• 彩色次数 dχ(v) を、χ⁻-彩色における頂点 v の閉近傍 N[v] に含まれる異なる色の数として定義する。
• Δχ(G) および δχ(G) をそれぞれ G のすべての頂点における最大および最小の彩色次数として定義する。
• 彩色直径 d(G,χ) を、G のすべての頂点対 u,v についての |dχ(u) - dχ(v)| の最大値として定義する。
• χ⁻-彩色の慣習：色をインデックスの増加順に割り当て、各色に割り当てる頂点数を最大化することで、一貫性があり最小限のパラメータ彩色が保証される。
• 再帰的公式を用いてグラフ合成 G∘H を分析する：χ(H′) ≥ k−1 の場合、ren(G∘H) = n·ren(H) が成り立ち、そうでない場合、ren(G∘H) = n·ren(H) + (m+1)·Σθ(ci) （i は χ(H′)+2 から k まで）となる。ここで H′ は、各 H のコピーから ren(H) 個の頂点を削除した部分グラフである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ G から最小で何個の頂点を削除すれば、残りの部分グラフが J-彩色を許容するようになるか？
• RQ2 彩色次数 dχ(v)、最大彩色次数 Δχ(G)、および彩色直径 d(G,χ) は、グラフの構造的性質や彩色可能性にどのように関係するか？
• RQ3 グラフ合成演算（特に G∘H）の下で、ランダムネス・ネIGHボラフ・エクイテ数 ren(G) はどのように振る舞うか？
• RQ4 H と G にどのような条件下で、合成 G∘H が J-彩色性を保つか、あるいは変化させるか？これは H の彩色特性に依存する。
• RQ5 どのような有限整数列が、χ⁻-彩色下でのグラフの彩色次数列（dχ）として現れ得るか？また、このような列を特徴づける要因は何か？

主な発見

• n ≥ 3 のパス Pn に対して、n が偶数または 3 の倍数のとき ren(Pn) = 0 であり、それ以外の場合は ren(Pn) = 1 である。これは、Pn が J-彩色を許容するのはこれらの条件下でのみであるためである。
• サイクル Cn に対して、n ≡ 0 mod 2 または n ≡ 0 mod 3 のとき ren(Cn) = 0 であり、それ以外の場合は ren(Cn) = 1 である。これは、Cn が J-彩色を許容するのはこれらのケースに限るためである。
• ホイールグラフ Wn+1 = K1 + Cn に対して、n ≡ 0 mod 3 のとき ren(Wn+1) = 0（J(Wn+1) = 4 であるため）、それ以外の場合は ren(Wn+1) = 1 である。これは J-彩色条件を満たすかどうかによる。
• |G| = n、|H| = m、χ(G) = k であるグラフ合成 G∘H に対して、各 H のコピーから ren(H) 個の頂点を削除した結果得られる H′ が χ(H′) ≥ k−1 を満たす場合、ren(G∘H) = n·ren(H) が成り立つ。
• H′ が χ(H′) < k−1 を満たす場合、ren(G∘H) = n·ren(H) + (m+1)·Σθ(ci) （i は χ(H′)+2 から k まで）となる。これは、残りの色集合における色の多重度に依存する。
• すべての頂点が同じ彩色次数を持つグラフ（たとえば完全グラフ Kn やパス Pn）では、彩色直径 d(G,χ) は 0 である。これは、彩色次数の分布が一様であることを示している。