[論文レビュー] Rainbow Pancyclicity in Graph Systems

Yangyang Cheng, Guanghui Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Graph theory and applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフ系におけるルビーカンサイクリックのアハロニ予想の漸近的版を証明する。十分に大きな n に対して、n 個の頂点を持つ n 個のグラフが、それぞれの最小次数が (1/2 + ε)n 以上であれば、それらはルビー・ハミルトニアン・サイクルを含む。証明では、吸収法のルビー版を用い、任意の互いに素なルビーカンサイクルに新しい色を追加して吸収できる短いルビーサイクルを構築する。最終的に、ハミルトニアン・サイクルが得られる。

ABSTRACT

Let $G_1,...,G_n$ be graphs on the same vertex set of size $n$, each graph with minimum degree $δ(G_i)\ge n/2$. A recent conjecture of Aharoni asserts that there exists a rainbow Hamiltonian cycle i.e. a cycle with edge set $\{e_1,...,e_n\}$ such that $e_i\in E(G_i)$ for $1\leq i \leq n$. This can be viewed as a rainbow version of the well-known Dirac theorem. In this paper, we prove this conjecture asymptotically by showing that for every $\varepsilon>0$, there exists an integer $N>0$, such that when $n>N$ for any graphs $G_1,...,G_n$ on the same vertex set of size $n$ with $δ(G_i)\ge (\frac{1}{2}+\varepsilon)n$, there exists a rainbow Hamiltonian cycle. Our main tool is the absorption technique. Additionally, we prove that with $δ(G_i)\geq \frac{n+1}{2}$ for each $i$, one can find rainbow cycles of length $3,...,n-1$.

研究の動機と目的

• グラフ系におけるアハロニのルビー・ハミルトニアン・サイクル予想の漸近的版を解決すること。
• このような系において、長さ 3 から n−1 までのすべての長さのルビーサイクルが存在するための条件を確立すること。
• アハロニの予想における最小次数の閾値 n/2 が、漸近的に (1/2 + ε)n に改善可能であることを示すこと。
• δ(Gi) ≥ (n+1)/2 であれば、長さ 3 から n−1 までのすべてのルビーサイクルが存在し、後続の結果と組み合わせることで、長さ 3 から n までのすべてのルビーサイクルが存在することを示すこと。
• グラフ系から得られるエッジ彩色多重グラフにおいて、ルビー・ハミルトニアン・サイクルを構築するための、ルビー版の吸収法を考案・適用すること。

提案手法

• 任意の互いに素なルビーカンパス P と新しい色 s を取り、それを吸収できる短いルビーサイクル C を吸収法を用いて構築する。
• 任意のルビーカンパス P と未使用の色 s に対して、C の辺の削除が、色のパターンに従ったパス挿入により置き換え可能であることを保証する。
• 確率論的手法とチェルノフの不等式を用いて、頂点集合 W 内のランダムな 3 パス族が、十分なサイズかつ低交差を持つ対照的不交差族 W′ にまで削減可能であることを示す。
• 集中不等式を適用し、各色 s と頂点対 (x1,x2) に対して、色のパターン (s, 3i−1, 3i−2, 3i) を持つ吸収パスが多数存在することを保証する。
• 和集合の不等式とマーコフの不等式を用いて、ある正の確率で C 内に必要な吸収構造が存在することを示す。
• 最初に V(G) ∓ V(C) 内でルビー・ハミルトニアン・パスを特定し、その後、吸収性を用いてそれを C に吸収することで、最終的なルビー・ハミルトニアン・サイクルを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アハロニのグラフ系におけるルビー・ハミルトニアン・サイクル予想は、漸近的に証明可能か？
• RQ2 n 個のグラフ系において、長さ 3 から n−1 までのすべての長さのルビーサイクルが存在するための最小次数条件は何か？
• RQ3 吸収法は、ルビー設定に適応可能か？ これにより、エッジ彩色多重グラフにおけるハミルトニアン・サイクルが構築可能か？
• RQ4 δ(Gi) ≥ n/2 がルビー・ハミルトニアン・サイクルのためのタイトな閾値か、それとも漸近的に改善可能か？
• RQ5 どのようなグラフ系の構造的性質が、ハミルトニアン・サイクルを除くすべての長さのルビーサイクルの存在を可能にするか？

主な発見

• 任意の ε > 0 に対して、ある N が存在し、すべての n > N に対して、n 個の頂点を持つ n 個のグラフが最小次数 (1/2 + ε)n 以上であれば、それらはルビー・ハミルトニアン・サイクルを含む。
• すべての i に対して δ(Gi) ≥ (n+1)/2 であれば、系は長さ 3 から n−1 までのすべてのルビーサイクルを含む。
• アハロニの元の予想における最小次数閾値 n/2 は、漸近的に (1/2 + ε)n に改善可能である。
• 証明で用いられる吸収構造は、任意の新しい色を持つ互いに素なルビーカンパスがサイクルに挿入可能であることを保証する。
• 構成により、各色と頂点対あたりの吸収パスの数は少なくとも Ω(εμ₁n) 以上であり、これは十分に大きな n に対して少なくとも 1 以上である。
• この結果とジョスとキムによる後続の完全な予想の証明を組み合わせることで、δ(Gi) ≥ (n+1)/2 である系が、長さ 3 から n までのすべてのルビーサイクルを含むことが確認される。