[論文レビュー] Rainbow Ramsey problems for the Boolean lattice

Fei-Huang Chang, Dániel Gerbner+5 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿はブール格子におけるモノクローマティックおよびレインボーコピーの部分順序集合（poset）に関する初の体系的かつ包括的な研究を提示し、ブール格子 $B_n$ におけるレインボーラマージャン数を導入・考察する。多くの部分順序集合 $P$ および $Q$ に対して、弱いレインボーラマージャン数 $RR(P,Q)$ が古典的ラマージャン数 $R_{|Q|-1}(P)$ に等しいことを証明し、強いバージョンでは厳密な不等号が成立することを示す構成を提供することで、ブール格子における極値部分順序集合論の理解を前進させる。

ABSTRACT

We address the following rainbow Ramsey problem: For posets $P,Q$ what is the smallest number $n$ such that any coloring of the elements of the Boolean lattice $B_n$ either admits a monochromatic copy of $P$ or a rainbow copy of $Q$. We consider both weak and strong (non-induced and induced) versions of this problem. We also investigate related problems on (partial) $k$-colorings of $B_n$ that do not admit rainbow antichains of size $k$.

研究の動機と目的

• ブール格子 $B_n$ における部分順序集合のためのレインボーラマージャン数を定義・考察し、古典的ラマージャン理論にレインボー（多色）部分順序集合を含めるように拡張すること。
• 任意の $k$-彩色において、部分順序集合 $P$ のモノクローマティックコピーまたは部分順序集合 $Q$ のレインボーコピー（弱および強い（部分集合としての）両設定）を含む最小の $n$ を特定すること。
• レインボーラマージャン数と古典的ラマージャン数の関係を調査し、特に $RR(P,Q) = R_{|Q|-1}(P)$ が等号で成立するか、それとも厳密な不等号となるかを検討すること。
• $B_n$ の $k$-彩色でサイズ $k$ のレインボーアンチチェインを避けるものについて分析し、極値集合論およびルービル型の境界と関連付けること。
• $A_k$ の強いレインボーコピーを避ける彩色を構成し、$n,k \to \infty$ のとき $F'(n,k)/2^{\floor{n/2}} \to \infty$ となることを示すこと。

提案手法

• 部分順序集合 $P$ および $Q$ に対して、ブール格子 $B_n$ における弱および強いレインボーラマージャン数 $RR(P,Q)$ および $RR^*(P,Q)$ を定義する。ここで、レインボーコピーはすべての要素が異なる色を持つことを要件とする。
• extremal set theory に特化した $k$-LYM 不等式を用いて、$P$-フリーな族を分析するための Lubell-mass $λ_n({\mathcal{F}})$ を使用する。
• 色数が $|Q|-1$ 個に制限される場合、レインボー $Q$ は存在しえないため、$RR(P,Q) \geq R_{|Q|-1}(P)$ を色分けの議論により証明する。
• 確率的補題を用いて、$\lfloor n/2\rfloor + l_k$ のサイズのランダムな集合からなる彩色を構成し、$k$ 個の強いレインボーアンチチェインを避ける。この際、集合間の共通部分の大きさを小さく保つ。
• このような構成における各色クラスのサイズを分析し、$|\phi^{-1}(i)| \geq (2^{l_k} - o(1))2^{\lfloor n/2\rfloor}$ を示すことで、$F'(n,k)$ の成長を証明する。
• 変数 $\alpha$ および $\beta$ を含む代数的不等式を用いて、レインボー自由彩色の最大サイズに関連する式を評価し、$\alpha < \frac{1}{2+\sqrt{2}-\beta}$ の制約下で $1+\beta + \frac{1}{1-(\alpha-\beta)} \leq 1+\sqrt{2}$ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの部分順序集合のペア $P$ および $Q$ に対して、弱いレインボーラマージャン数 $RR(P,Q)$ が古典的ラマージャン数 $R_{|Q|-1}(P)$ に等しくなるか？
• RQ2 強いレインボーラマージャン数 $RR^*(P,Q) > R^*_{|Q|-1}(P)$ が成立する場合、その条件は何か？
• RQ3 $A_k$ の強いレインボーコピーを避ける $k$-彩色の最大サイズは何か？
• RQ4 関数 $F'(n,k)$（このような彩色を数えるもの）は、$n,k \to \infty$ のときどのように漸近的に成長するか？
• RQ5 レインボーラマージャン数 $RR(P,Q)$ が $R_{|Q|-1}(P)$ よりも大きい、すなわち下界における厳密な不等号が成立するような部分順序集合 $P$ および $Q$ は存在するか？

主な発見

• 多くの部分順序集合 $P$ および $Q$ に対して、弱いレインボーラマージャン数は $RR(P,Q) = R_{|Q|-1}(P)$ を満たし、命題 1.3 の下界が等号で成立することを示している。
• 本稿は、$A_k$ の強いレインボーコピーを含まない $k$-彩色を構成し、$F'(n,k) \geq (2^{l_k} - o(1))2^{\lfloor n/2\rfloor}$ が成り立つことを証明している。ここで $l_k = \lfloor \log(k-1)/2 \rfloor$ であり、$n,k \to \infty$ のとき $F'(n,k)/2^{\lfloor n/2\rfloor} \to \infty$ となることが示された。
• 一部の部分順序集合 $P,Q$ に対して、強いレインボーラマージャン数は $RR^*(P,Q) > R^*_{|Q|-1}(P)$ を満たしており、命題 1.3(ii) の下界が厳密に成立しうることを示している。
• 構成では、$\lfloor n/2\rfloor + l_k$ のサイズのランダムな集合を用い、任意の二つの集合の共通部分が $0.26n$ 未満であるように保つことで、各色クラスが完全なサイズ $k$ のレインボーアンチチェインをサポートできないようにしている。
• 式 $1+\beta + \frac{1}{1-(\alpha-\beta)}$ の分析により、制約 $\alpha < \frac{1}{2+\sqrt{2}-\beta}$ の下で、この式が $1+\sqrt{2}$ で有界であることが示され、証明における主要な不等式を支持している。
• 本稿は、$0 \leq \beta \leq 1/2$ の範囲で $\beta(-\beta^2 + (1+2\sqrt{2})\beta - 2) \leq 0$ が成り立つことを証明しており、構成における関連式の上界を確立する上で鍵となる。