[論文レビュー] Rainbow structures in locally bounded colourings of graphs

Jaehoon Kim, Daniela Kühn+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 39被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、辺彩色の局所的および全球的有界性条件の下で、エッジ彩色された準ランダムグラフの近似分解を確立する。$n$ 頂点の完全グラフにおいて、$(1-o(1))n/2$-有界かつ局所的に $o(n/\text{log}^4 n)$-有界な彩色が与えられたとき、$(1-o(1))n/2$ 個の辺に重複のないレインボーアイソパスサイクルが存在し、同様の結果が、ログファクターを除いて、ほぼ全域のサイクルやラテン超立方体における完全な横断についても成り立つ。

ABSTRACT

We prove several results on approximate decompositions of edge-coloured quasirandom graphs into rainbow spanning structures. More precisely, we say that an edge-colouring of a graph is locally $\ell$-bounded if no vertex is incident to more than $\ell$ edges of any given colour, and that it is (globally) $g$-bounded if no colour appears more than $g$ times in the colouring. Note that every proper colouring of an $n$-vertex graph is locally $1$-bounded, and (globally) $n/2$-bounded. Our results imply the following: (i) The existence of approximate decompositions of edge-coloured $K_n$ into rainbow almost-spanning cycles, provided that the colouring is $\frac{n}{2}$-bounded and locally $o(n)$-bounded. (ii) The existence of approximate decompositions of edge-coloured $K_n$ into rainbow Hamilton cycles, provided that the colouring is $(1-o(1))\frac n2$-bounded and locally $o\big(\frac{n}{\log^4 n}\big)$-bounded. (iii) A bipartite version of our results implies that every $n imes n$ array, where each symbol appears $(1-o(1))n$ times in total and appears only $o\big(\frac{n}{\log^2 n}\big)$ times in each row or column, has an approximate decomposition into full transversals. We also prove analogues of (i) and (ii) for $F$-factors, where $F$ is any fixed graph. Apart from the logarithmic factor in (ii), all these bounds are essentially best possible. (i) can be viewed as a generalization of a recent result of Alon, Pokrovskiy and Sudakov, who showed the existence of an almost spanning cycle in a properly coloured complete graph. Both (i) and (ii) imply approximate versions of a conjecture of Brualdi and Hollingsworth, stating that every properly edge-coloured complete graph can be decomposed into rainbow spanning trees.

研究の動機と目的

• エッジ彩色された準ランダムグラフが、近似レインボースパンニング部分グラフに分解可能である条件を確立すること。
• 局所的および全球的有界性制約の下で、エッジ彩色された完全グラフにレインボーハミルトニアンサイクルおよびほぼ全域のサイクルが存在するかを調査すること。
• ラテンスクエアおよび一般化されたラテン超立方体への応用を含め、$n \times n$ 配列における横断および任意の固定グラフ $F$ に対する $F$-ファクターへ結果を拡張すること。
• ログファクターを除いて、辺に重複のないレインボー構造の数に対する定量的境界を提示し、これが本質的に最良であることを示すこと。
• ブリュアルディ＝ホリンズワース予想（レインボースパンニングツリーへの分解）に貢献し、彩色条件を緩和した下で近似版を証明すること。

提案手法

• 頂点ごとの彩色頻度に制限を課す（局所的 $β$-有界性）および全体的な彩色頻度に制限を課す（全球的 $g$-有界性）彩色の下で、準ランダムグラフの性質と確率的技法を用いる。
• 補題 2.14 に基づく一般化された分解フレームワークを適用し、部分グラフ内での異なる色を持つ互いに素な辺の集合の数を制御する。
• 確率的制限技法を用いる：ハミルトニアン構造の場合、頂点のランダム部分集合に制限し、主定理を適用してほぼ全域のサイクルを得る。
• アハロンイらおよびハタミ＝ショアの結果を含む、トポロジー的および極値的組合せ論的道具を用い、配列内の部分的横断の上限を求める。
• 定理 1.7（ランダム部分集合に関する）と定理 2.10（スパarsなグラフに関する）を組み合わせることで、すべてのサイクル長さをカバーするパンサイクリック性の結果を導出する。
• グラフ $F$ の互いに素なコピーの集合に異なる色が付与された配置を考慮することで、$F$-ファクターへの手法を適応し、彩色の有界性条件下で近似分解が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K_n$ のエッジ彩色において、局所的および全球的有界性条件が満たされるとき、辺に重複のない多くのレインボーハミルトニアンサイクルが存在する条件は何か？
• RQ2 適切な彩色よりも弱い有界性条件下でも、近似分解によるレインボーレイントラスサイクルが達成可能か？
• RQ3 各記号が全体で $O(n)$ 回出現し、各行または各列で $o(n/\text{log}^2 n)$ 回出現する $n \times n$ 配列において、部分的横断の最大サイズは何か？
• RQ4 彩色制約を緩和した下で、ブリュアルディ＝ホリンズワース予想（レインボースパンニングツリーへの分解）の近似はどの程度達成可能か？
• RQ5 ログファクターは、準ランダムグラフにおけるレインボー構造の分解に対する境界のタイトネスにどのように影響するか？

主な発見

• 任意の $(1-o(1))n/2$-有界かつ局所的に $o(n/\text{log}^4 n)$-有界な $K_n$ のエッジ彩色に対して、$(1-o(1))n/2$ 個の辺に重複のないレインボーハミルトニアンサイクルが存在する。
• 任意の適切にエッジ彩色された $K_n$ は、$(1-o(1))n/2$ 個の辺に重複のない、長さ $(1-o(1))n$ の近似全域のレインボーハミルトニアンサイクルに分解可能である。
• 各記号が全体で $(1-o(1))n$ 回出現し、各行または各列で $o(n/\text{log}^2 n)$ 回出現する $n \times n$ 配列は、完全な横断への近似分解を許容する。
• 局所的および全球的彩色の境界は、ログファクターを除いて本質的に最良であり、$n - \Omega(\log n)$ より長いレインボーサイクルが存在しない構成によって示されている。
• 任意の固定グラフ $F$ に対して、レインボーファクター $F$-ファクターへの結果も同様の有界性条件下で拡張可能である。
• 本稿は、ブリュアルディ＝ホリンズワース予想の近似版を示すフレームワークを提供しており、グロックたちはその結果を用いて完全な予想の証明を行った。