[論文レビュー] Rainbow Subgraphs in Edge-colored Complete Graphs -- Answering two Questions by Erdős and Tuza

Maria Axenovich, Felix Christian Clemen|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2022

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ErdősおよびTuzaの、辺彩色完全グラフにおけるレインボーサブグラフに関する2つの長年の未解決問題に答えている。完全にバランスの取れた彩色——各頂点が各色に対して等しい辺数を持つ——を用いて、ほとんどの $ q \geq 4 $ に対してレインボークリーク $ K_q $ を避ける彩色を構成する。この構成には辞書的積彩色と完全差集合への接続を用いる。主な結果は、$ q $ が素数べき＋1でない場合、$ d(n, K_q) = \infty $ となるような $ n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}} $ である $ n $ が無限に存在することであり、これは $ d(n,F) $ の有限性に関する予想を反証する。

ABSTRACT

An edge-coloring of a complete graph with a set of colors $C$ is called completely balanced if any vertex is incident to the same number of edges of each color from $C$. Erdős and Tuza asked in $1993$ whether for any graph $F$ on $\ell$ edges and any completely balanced coloring of any sufficiently large complete graph using $\ell$ colors contains a rainbow copy of $F$. This question was restated by Erdős in his list of ``Some of my favourite problems on cycles and colourings''. We answer this question in the negative for most cliques $F=K_q$ by giving explicit constructions of respective completely balanced colorings. Further, we answer a related question concerning completely balanced colorings of complete graphs with more colors than the number of edges in the graph $F$.

研究の動機と目的

• Question 1.1 を解決する：すべての $ \ell $ 辺を持つグラフ $ F $ および十分に大きな $ n \equiv 1 \pmod{\ell} $ に対して $ d(n,F) $ が有限であるか、特に $ F = K_q $ のクリークの場合にそうか。
• 完全にバランスの取れた $ \ell $ 色彩色が、大きな完全グラフにおいて $ F $ のレインボーサブグラフを避けることができるかを調査する。
• Question 1.5 を扱う：$ \ell+1 $ 色の場合、$ K_n $ の完全にバランスの取れた彩色が、すべての $ \ell $ 辺を持つグラフ $ F $ をレインボーサブグラフとして含むか。
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提案手法

• 著者らは、辺彩色の辞書的積を導入し、小さい完全グラフの彩色から大きい完全グラフの完全にバランスの取れた彩色を再帰的に構成する。
• 繰り返し適用する辞書的積に基づく再帰的構成により、$ n = (\ell+1)^k $ 頂点と $ \ell $ または $ \ell+1 $ 色の彩色を生成し、各頂点における色の分布が均等になるように保証する。
• この構成は、彩色がレインボークリーク $ K_q $ を避ける条件に依存しており、特に $ q $ 個の頂点がその辺ですべて異なる色を含まないことを保証することで行われる。
• 重要な技術的アプローチとして、レインボーキューブ $ K_q $ の存在が $ \mathbb{Z}_n $ における完全差集合の存在と関連することを示し、このような集合が存在しない場合、レインボーキューブ $ K_q $ は存在しない。
• 論文は、Singerによる完全差集合の構成（サイズ $ p^k + 1 $）と素数べき予想を用いて、$ d(n, K_q) = \infty $ となる $ q $ の密度を分析する。
• 加法的組合せ論の結果、特にPeluseの最近の研究（$ \mathbb{Z}_{q^2 - q + 1} $ における完全差集合の存在に関する整数 $ q $ の密度）を応用し、$ |S(N)| $ の漸近的上限を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ \ell $ 辺を持つグラフ $ F $ および十分に大きな $ n \equiv 1 \pmod{\ell} $ に対して $ d(n, F) $ は有限か？特に $ F = K_q $ の場合にそうか。
• RQ2 完全にバランスの取れた $ K_n $ の $ \ell = \binom{q}{2} $ 色彩色は、常にレインボーキューブ $ K_q $ を含むか？
• RQ3 $ \ell+1 $ 色の場合、$ K_n $ の完全にバランスの取れた彩色は、すべての $ \ell $ 辺を持つグラフ $ F $ をレインボーサブグラフとして含むか？
• RQ4 レインボーキューブ $ K_q $ に対して $ d(n, K_q) = \infty $ となるような $ n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}} $ である $ n $ が無限に存在するような整数 $ q $ の漸近的密度は？
• RQ5 完全にバランスの取れた $ K_n $ の彩色がレインボーキューブ $ K_q $ を避けるための $ q $ に関する条件は何か？

主な発見

• この論文は、$ |S(N)| = N - (1 + o(1)) \frac{N}{\log N} $ を示しており、これはほとんどの $ q \leq N $ に対して、$ \binom{q}{2} $ 色の完全にバランスの取れた $ K_n $ の彩色がレインボーキューブ $ K_q $ を避けるような、任意に大きな $ n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}} $ が存在することを意味する。したがって、$ d(n, K_q) = \infty $ である。
• $ q \geq 10 $ で $ q \equiv 2 $ または $ 3 \pmod{4} $ である場合、$ n = (\ell + 1)^k $ かつ $ \ell = \binom{q}{2} $ とすると、$ \ell $ 色の完全にバランスの取れた $ K_n $ の彩色が存在し、レインボーキューブ $ K_q $ を含まない。これにより $ d(n, K_q) = \infty $ が示された。
• $ q \geq 8 $ で $ q \equiv 0 $ または $ 1 \pmod{4} $ である場合、$ n = (\ell + 2)^k $ かつ $ \ell = \binom{q}{2} $ とすると、$ \ell + 1 $ 色の完全にバランスの取れた $ K_n $ の彩色が存在し、レインボーキューブ $ K_q $ を含まない。これはQuestion 1.5に否定的な答えを与える。
• 標準的な彩色で $ n = q^2 - q + 1 $ かつ $ \ell = \binom{q}{2} $ 色の場合、レインボーキューブ $ K_q $ が存在することは、$ \mathbb{Z}_n $ にサイズ $ q $ の完全差集合が存在することと同値であり、これは $ q-1 $ が素数べきでない場合に成立しないことが知られている。
• 論文は、$ \mathbb{Z}_{q^2 - q + 1} $ にサイズ $ q $ の完全差集合が存在しない場合、$ d(n, K_q) = \infty $ となるような $ n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}} $ である $ n $ が無限に存在することを証明した。これは、すべての $ q $ に対して $ q-1 $ が素数べきでない場合に成立する。
• 著者らは、$ d(n, K_q) = \infty $ となるような $ n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}} $ である $ n $ が無限に存在するような $ q \leq N $ の集合 $ S(N) $ のサイズが、漸近的に $ N - (1 + o(1)) \frac{N}{\log N} $ に達することを確認した。これは、Question 1.1 に対して否定的な答えを持つ $ q $ の集合が $ \mathbb{N} $ において稠密であることを示唆する。