[論文レビュー] Rainbow vertex-connection number of 2-connected graphs

Xueliang Li, Sujuan Liu|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2011

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、サイクルのレインボー頂点連結数を特定し、任意の2連結グラフに対して、同じ順序のサイクルのそれ以下であることを確立する。これはタイトな上界を与える。この結果はブロック分解を用いて一般の連結グラフへ拡張され、ブロック連結数と切断頂点を用いた上界が得られ、最大で ⌈|B₁|/2⌉ + ⋯ + ⌈|Bₖ|/2⌉ + t 色を用いた構成的彩色法が提示される。

ABSTRACT

The {\em rainbow vertex-connection number}, $rvc(G)$, of a connected graph $G$ is the minimum number of colors needed to color its vertices such that every pair of vertices is connected by at least one path whose internal vertices have distinct colors. In this paper we first determine the rainbow vertex-connection number of cycle $C_n$ of order $n\geq 3$, and then, based on it, prove that for any 2-connected graph $G$, $rvc(G)\leq rvc(C_n)$, giving a tight upper bound for the rainbow vertex-connection. As a consequence, we show that for a connected graph $G$ with a block decomposition $B_1, B_2, ..., B_k$ and $t$ cut vertices, $rvc(G)\leq rvc(B_1)+rvc(B_2)+ ... +rvc(B_k)+t$.

研究の動機と目的

• すべての n ≥ 3 に対して、サイクル Cₙ のレインボー頂点連結数を特定すること。
• サイクルに基づく解析を用いて、2連結グラフのレインボー頂点連結数に対するタイトな上界を確立すること。
• ブロック分解と切断頂点を用いて、この上限を一般の連結グラフへ拡張すること。
• ブロックと切断頂点に基づいて、有界な色数を用いて有効なレインボー頂点彩色を生成する構成的手法を提供すること。

提案手法

• 本稿は、耳分解を用いて、サイクルから段階的に2連結グラフを構築し、帰納的彩色の議論を可能にする。
• 端点の頂点のみが同じ色を共有できるように修正されたレインボーパスを定義し、帰納的構成を容易にするために修正されたレインボー頂点彩色を導入する。
• サイクルの場合、小さい n に対して rvc(Cₙ) を正確に計算し、n に基づく閉形式の式を導出する。n = 3、4–5、6–13、14、および ≥16 の場合に場合分けを行う。
• 2連結グラフのための彩色構成は、部分グラフ Gₜ からの有効な彩色を、新しい耳に属する頂点に色を適切に割り当てることで、元のグラフ G へ拡張する。色は新規または既存の色を用い、レインボー連結性を保つ。
• 一般の連結グラフの場合、グラフをブロックに分解し、非完全ブロックには互いに素な色集合を割り当て、切断頂点には別個の色を用いる。
• 構成法により、ブロック間の接続性と修正されたレインボーパスの性質を活用して、任意の2頂点がレインボーパスで接続されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序 n ≥ 3 のサイクル Cₙ のレインボー頂点連結数の正確な値は何か？
• RQ2 任意の2連結グラフ G のレインボー頂点連結数は、同じ順序のサイクルのそれ以上に抑えられるか？
• RQ3 連結グラフのブロック分解は、そのレインボー頂点連結数にどのように影響するか？
• RQ4 ブロックと切断頂点に基づいて、有界な色数を用いてレインボー頂点彩色を構成的に生成する方法はあるか？

主な発見

• サイクル Cₙ のレインボー頂点連結数は、n = 3 のとき 0、n = 4 または 5 のとき 1、n = 9 のとき 3、n ∈ {6,7,8,10,11,12,13,15} のとき ⌈n/2⌉ − 1、n = 14 または n ≥ 16 のとき ⌈n/2⌉ である。
• 任意の順序 n の2連結グラフ G に対して、rvc(G) ≤ rvc(Cₙ) が成り立ち、この上界はタイトである。
• ブロック分解が B₁,…,Bₖ で、切断頂点が t 個ある任意の連結グラフ G に対して、rvc(G) ≤ rvc(B₁) + ⋯ + rvc(Bₖ) + t が成り立つ。
• 最大で ⌈|B₁|/2⌉ + ⋯ + ⌈|Bₖ|/2⌉ + t 色を用いる構成的彩色法が存在し、それによりレインボー頂点連結性が達成される。
• 修正されたレインボー頂点彩色の概念は、耳分解における帰納的ステップの証明に不可欠であり、パスの端点での色の再利用を制御可能にする。
• すべての順序 n の2連結グラフに対して、rvc(G) ≤ ⌈n/2⌉ という上界が成り立ち、この上界は n ≥ 16 のサイクルに対してタイトである。