[論文レビュー] Ramanujan circulant graphs and the conjecture of Hardy-Littlewood and Bateman-Horn

Miki Hirano, Kohei Katata+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2013

Graph theory and applications参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、奇数完全グラフからRamanujan性質を保ったまま取り除ける辺の最大数を特定し、その上限が自明な推定値をわずかに2つ超える例外的な場合に限ることを示している。これらの例外は、頂点数が特定の二次多項式で表される素数または2つの異なる素数の積である場合に発生し、Hardy-LittlewoodおよびBateman-Horn予想のもとでは、このようなケースが無限に多く存在することが示唆される。

ABSTRACT

In this paper, we determine the bound of the valency of the odd circulant graph which guarantees to be a Ramanujan graph for each fixed number of vertices. In almost of the cases, the bound coincides with the trivial bound, which comes from the trivial estimate of the largest non-trivial eigenvalue of the circulant graph. As exceptional cases, the bound in fact exceeds the trivial one by two. We then prove that such exceptionals occur only in the cases where the number of vertices has at most two prime factors and is represented by a quadratic polynomial in a finite family and, moreover, under the conjecture of Hardy-Littlewood and Bateman-Horn, exist infinitely many.

研究の動機と目的

• 奇数完全グラフからRamanujan性質を保ったまま取り除ける辺の最大数を特定すること。
• 有効度の上限が自明な推定値を2つ超える例外的なケースを特定すること。
• このような例外的グラフの存在を、特にHardy-LittlewoodおよびBateman-Horn予想を含む解析的数論の深い予想と結びつけること。
• 巡回群から一般の奇数アーベル群への分析の拡張を行い、非巡回群が例外的Ramanujan巡回グラフをサポートできる条件を特定すること。

提案手法

• 奇数巡回グラフの集合を定義し、群ℤₘのキャラクターを用いてその固有値を分析する。
• Ramanujanの境界 2√(k−1) を用いて、最大の非自明固有値の閾値を特定する。
• スペクトル推定に基づき、取り除ける辺の最大数に対する自明な下界 l₀,m = 2⌊√m − 3/2⌋ + 1 を確立する。
• εₘ = 2 となる例外的ケースを特定し、これは m が k² + 5k + c（c ∈ {±1, ±3, ±5}）という二次多項式で表される場合に限る。
• キャラクター和の推定を用いて最大の非自明固有値を評価し、特に非自明なキャラクター χ₀ を用いてRamanujan条件を検証する。
• 中国剰余定理と群の分解を用いて非巡回アーベル群を分析し、例外的となるのは ℤₚ ⊕ ℤₚ の小さな p-群に限ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ramanujanの奇数巡回グラフの有効度の上限が、自明なスペクトル推定値を上回るのはどのような条件下か？
• RQ2 完全グラフ Kₘ から l 条の辺を削除した後でも、奇数巡回グラフがRamanujanの性質を保つのはいつか？
• RQ3 例外的Ramanujan巡回グラフの存在と、Hardy-LittlewoodおよびBateman-Horn予想との関係は何か？
• RQ4 非巡回有限アーベル群のうち、奇数位数のもので、例外的Ramanujan巡回グラフをサポートできるのはどれか？
• RQ5 群の構造（巡回対非巡回）が、Ramanujan性質を保ったまま取り除ける辺の最大数に与える影響は何か？

主な発見

• Kₘ からRamanujan性質を保ったまま取り除ける辺の最大数は  l̂ₘ = l₀,ₘ + εₘ で与えられ、ここで l₀,ₘ = 2⌊√m − 3/2⌋ + 1 かつ εₘ ∈ {0, 2} である。
• εₘ = 2 となる例外的ケースは、m が素数または2つの異なる素数 p < q < 4p の積であり、かつ m が k² + 5k + c（c ∈ {±1, ±3, ±5}）という二次多項式で表される場合に限る。
• Hardy-LittlewoodおよびBateman-Horn予想のもとでは、このような例外的 m は無限に多く存在し、それにより無限に多くの例外的Ramanujan巡回グラフが存在することが示唆される。
• 非巡回アーベル群では、ℤₚ ⊕ ℤₚ（p ≤ 17）のときのみ例外的となり得る。p = 7, 11, 13, 17 の場合、l₀ を2つ超えるが、p = 5 の場合、4つ超える。
• このような例外的グラフの存在は、スペクトルギャップとキャラクター和の推定に依存しており、最大の非自明固有値がRamanujan境界に達するのは、群の構造と m の算術的性質が正確に一致する場合に限る。
• それ以外の奇数アーベル群、特に2つ以上の巡回因子をもつ群や高次の p-群構造をもつ群では、グラフは通常（ordinary）であり、εₘ = 0 である。