[論文レビュー] Ramification in Iwasawa modules

Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体の類群と有限体上の曲線のヤコビアンの間の伊達の類似性を一般化類群およびイワサワモジュールにおける分岐にまで拡張する双対性予想を提示する。この予想により、リーマンの予想と同値な分裂予想が、特定のp進L関数の消滅性を示し、また、Qの全実ガロア拡大に対して、Leopoldtの欠損度が1にはなり得ないことを証明する。

ABSTRACT

We study properties of ramification in Iwasawa modules.

研究の動機と目的

• 数体の類群と曲線のヤコビアンの間の伊達の類似性を、一般化類群および分岐イワサワモジュールへと拡張すること。
• 代数幾何におけるExt類公式に類似した、イワサワモジュールにおける分岐に関する双対性予想を定式化すること。
• この双対性枠組みから自然に生じる、リーマンの予想と同値な分裂予想が現れることを示すこと。
• 全実ガロア拡大F/Qに対して、Leopoldtの欠損度δF,pが1にはなり得ないことを証明すること。
• ワイリスの主要予想の証明とヒダのΛ-整係数ヒルベルトモジュラー形式の理論を用いて、リーマンの予想に対する基準を与えること。

提案手法

• イワサワ理論における次数0の整数除数の類似として、一般化類群および一般化ヤコビアンを導入する。
• イワサワが知っているペアリングを用いて、補助的素数におけるイワサワモジュールの分岐を定義する。
• ガロア群におけるフロベニウス元に台を持つ、次数0の整数除数の類似を構成する。
• イワサワペアリングを用いて、ガロアコホモロジーにおける拡張類を分岐データに関連付ける。
• 一般化ヤコビアンの幾何的Ext類公式をイワサワモジュールへ拡張する双対性予想（予想5.5）を定式化する。
• コホモロジー的およびガロア理論的技法を用いて、分裂予想（予想5.6）がリーマンの予想と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イワサワの類群とヤコビアンの類似性は、一般化類群および分岐イワサワモジュールへと拡張可能か？
• RQ2 一般化ヤコビアンのためのExt類公式に類似した、イワサワ理論における双対性法則は存在するか？
• RQ3 予想された双対性が、リーマンの予想と同値な分裂条件を示唆するか？
• RQ4 全実ガロア拡大F/Qと奇素数pに対して、Leopoldtの欠損度δF,pが1になり得るか？
• RQ5 ワイリスの主要予想の証明とヒダのΛ-整係数ヒルベルトモジュラー形式の理論を用いて、この枠組みを通じてリーマンの予想に到達可能か？

主な発見

• 双対性予想（予想5.5）は、一般化ヤコビアンのExt類公式のイワサワモジュールにおける類似として定式化される。
• 分裂予想（予想5.6）は、リーマンの予想と同値であることが証明された（定理6.5）。
• 本稿は、任意の全実ガロア拡大F/Qと奇素数pに対して、Leopoldtの欠損度δF,pが1にはなり得ないことを証明した（命題10.1）。
• 証明はガロアコホモロジーおよびZp-代数のランク2の自由Zp-加群の構造に依存する。
• リーマンの予想が非アーベル的表現χ（次元≥2）に対して成立しないならば、p進L関数LQ,p(1,χ)は必ず消えることが示された。
• コホモロジー的議論では、H2における制限写像の単射性とミッタグレフラー性を用いて、Sylow部分群におけるコホモロジー類を自明化する。