[論文レビュー] Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for two classes of unicyclic graphs

Zhao Wang, Yaping Mao+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、三角形を形成する追加の辺を持つ星型と、一方の端に三角形を持つパスの2つのクラスのユニサイクルグラフの2色ラマーマン数を決定し、それらの結果を基に、そのギャライ・ラマーマン数のタイトな上限と下限を確立する。主な貢献は、レインボー三角形を避ける文脈において、レッド・グラフと再帰的境界を活用したギャライ色分けの構造的解析を通じて、これらのラマーマン数型数値の正確または近似正確な値を導出することにある。

ABSTRACT

Given a graph $G$ and a positive integer $k$, define the \emph{Gallai-Ramsey number} to be the minimum number of vertices $n$ such that any $k$-edge coloring of $K_n$ contains either a rainbow (all different colored) triangle or a monochromatic copy of $G$. In this paper, we consider two classes of unicyclic graphs, the star with an extra edge and the path with a triangle at one end. We provide the $2$-color Ramsey numbers for these two classes of graphs and use these to obtain general upper and lower bounds on the Gallai-Ramsey numbers.

研究の動機と目的

• 星に追加の辺を加えて三角形を形成するユニサイクルグラフと、一方の端に三角形を持つパスの2つの特定のクラスのユニサイクルグラフの2色ラマーマン数を決定すること。
• レインボー三角形を避ける完全グラフのギャライ色分けを、ギャライ分割の構造と縮小グラフを用いて分析すること。
• 既知の結果と再帰的不等式を活用して、これらのユニサイクルグラフのギャライ・ラマーマン数の一般的な上限と下限を導出すること。
• 非二部グラフのユニサイクルグラフのギャライ・ラマーマン数が色の数に対して線形に増加することを示し、非二部グラフにおける指数的増加とは対照的である。

提案手法

• ギャライの分割定理（定理1）を用いて、ギャライ色分けされた完全グラフを、2色以内の色が部分間を結ぶ非自明な分割に分解する。
• 縮小グラフ（ギャライ分割の各部分から1頂点ずつ選んで作られる2色完全グラフ）の概念を用い、色の全体的構造を分析する。
• 文献[13]の補題1を用いて、目的のグラフの単色コピーを避ける部分グラフのサイズを制限し、より小さいギャライ・ラマーマン数に対する再帰的境界を適用する。
• サイクルのラマーマン数（定理3）と偶数サイクルの境界（定理4）を、再帰的解析の基盤として用いる。
• ギャライ分割の部分数と部分間の辺の色分布に基づくケース解析を用い、大きな単色部分グラフが存在すると仮定した場合に矛盾を導く。
• ドゥルーズの定理（密度の高いグラフにおけるハミルトン閉路の存在）を適用し、赤または青の部分グラフに長いパスやサイクルが存在することを示し、これにより目的のグラフの単色コピーが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 星に追加の辺を加えて三角形を形成するユニサイクルグラフの2色ラマーマン数は何か？
• RQ2 色の数が増加する際、この星＋辺グラフのギャライ・ラマーマン数はどのように変化するか？
• RQ3 パスの1番目と3番目の頂点を結ぶ辺を追加して三角形を形成するユニサイクルグラフの2色ラマーマン数は何か？
• RQ4 パス＋三角形グラフのギャライ・ラマーマン数は、他のユニサイクルグラフと比較してどうなるか。特に、二部グラフと非二部グラフの二分法的性質を踏まえて。
• RQ5 再帰的分割と構造的制約を用いて、これらのグラフのギャライ・ラマーマン数に対してタイトな上限と下限を確立できるか？

主な発見

• 三角形を形成する追加の辺を持つ星型グラフの2色ラマーマン数が決定され、再帰的ギャライ・ラマーマン数解析の基盤が提供された。
• 一方の端に三角形を持つパスの2色ラマーマン数が確立され、より高い色数におけるギャライ・ラマーマン数の境界導出が可能になった。
• 両方のグラフクラスのギャライ・ラマーマン数が、色の数に対して線形に増加することが示された。これは、二部グラフの挙動と整合的である。
• 補題1とギャライ分割の構造的制約を用いた背理法により、$ gr_k(K_3; H) < n_k $ が証明された。ここで $ n_k $ は再帰的に定義された境界である。
• ギャライ色分けが目的のグラフの単色コピーを避ける場合、頂点数は $ gr_{k-1}(K_3; H) - 1 $ 未満に制限され、再帰的不等式が導かれる。
• 特に $ k=3 $ の場合、単色 $ P_t^+ $ が存在しないと仮定すると、部分のサイズが小さくなり、赤または青の部分グラフにハミルトン閉路が存在することから矛盾が生じる。