[論文レビュー] Ramsey numbers for partially ordered sets

Christian Winter|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Advanced Topology and Set Theory被引用数 1

ひとこと要約

この学位論文は、固定された部分順序集合 P と成長するブールラティス Qn に対して、poset ラマ数 R(P, Qn) の漸近的タイトな境界を確立し、新たな確率的構成法とブロッカーに基づく手法を導入する。P が V2 または Λ2 を含むかどうかに応じて漸近的挙動に二分型が生じることを証明し、R(Qn, Qn) に対して初めての線形下界（2.02^n）と非線形上界（n² − (1−o(1))n log n）を提供する。

ABSTRACT

The main objective of Ramsey theory is to investigate the largest monochromatic substructure guaranteed in any coloring of a given discrete host structure. Examples for such substructures are subgraphs hosted in a complete graph or arithmetic progressions in the natural numbers. In this thesis, we present quantitative Ramsey-type results in the setting of finite sets that are equipped with a partial order, so-called posets. A prominent example of a poset is the Boolean lattice $Q_n$, which consists of all subsets of $\{1,\dots,n\}$, ordered by inclusion. For posets $P$ and $Q$, the poset Ramsey number $R(P,Q)$ is the smallest $N$ such that no matter how the elements of $Q_N$ are colored in blue and red, there is either an induced subposet isomorphic to $P$ in which every element is colored blue, or an induced subposet isomorphic to $Q$ in which every element is colored red. The central focus of this thesis is to investigate $R(P,Q_n)$, where $P$ is fixed and $n$ grows large. Our results contribute to an active area of discrete mathematics, which studies the existence of large homogeneous substructures in host structures with local constraints, introduced for graphs by Erd\H{o}s and Hajnal. We provide an asymptotically tight bound on $R(P,Q_n)$ for $P$ from several classes of posets, and show a dichotomy in the asymptotic behavior of $R(P,Q_n)$, depending on whether $P$ contains a subposet isomorphic to one of two specific posets. A fundamental question in the study of poset Ramsey numbers is to determine the asymptotic behavior of $R(Q_n,Q_n)$ for large $n$. In this dissertation, we present improvements on the known lower and upper bound on $R(Q_n,Q_n)$. Moreover, we explore variations of the poset Ramsey setting, including Erd\H{o}s-Hajnal-type questions when the small forbidden poset has a non-monochromatic color pattern, and so-called weak poset Ramsey numbers, which are concerned with non-induced subposets.

研究の動機と目的

• 固定された部分順序集合 P と大きな n に対して R(P, Qn) の漸近的挙動を特定すること。
• P が部分順序集合として V2 または Λ2 を含むかどうかに応じたラマ数成長の二分型を解明すること。
• 対角ラマ数 R(Qn, Qn) の既存の最良下界および上界を改善すること。
• 弱ラマ数や Erdős-Hajnal 型設定を含む poset ラマ数問題の変種を調査すること。
• すべての固定された P に対して R(Qn, Qn) = O(n^{1+o(1)}) および R(P, Qn) = n + o(n) であると予想すること。

提案手法

• チェーン補題を拡張し、下界に向けた新たなブロッカーに基づく手法を導入する。
• 並列階乗木を用いた確率的構成法を開発し、R(Qn, Qn) の下界で線形の改善を達成する。
• ブロブ補題を精緻化し、R(Qn, Qn) に対する非線形上界を導出する。
• ホモモーティズムおよび埋め込み技術を用いて、V2 や Λ2 を含まない部分順序集合を特徴付ける。
• Y-チェーンおよびフレームワーク分解を用いて、誘導部分順序集合の構造を分析する。
• 弱 poset ラマ数を導入し、非誘導部分順序集合を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された部分順序集合 P に対して、n → ∞ のとき R(P, Qn) の漸近的挙動は何か？
• RQ2 P に部分順序集合として V2 または Λ2 が含まれるかどうかが、R(P, Qn) の成長率に急激な遷移を引き起こすか？
• RQ3 R(Qn, Qn) は n の超多項式関数で下から抑えられるか？
• RQ4 R(Qn, Qn) に対して、自明な下界 2^n よりも線形の改善が可能か？
• RQ5 弱 poset ラマ数 Rw(Qn, Qn) と標準的な R(Qn, Qn) の関係は何か？

主な発見

• V2 や Λ2 を含まない任意の固定された部分順序集合 P に対して、R(P, Qn) ≤ n + c(P) が成り立ち、線形成長を示す。
• P が V2 または Λ2 を含む場合、R(P, Qn) ≥ n + n/(15 log n) が成り立ち、非線形下界を示す。
• R(Qn, Qn) の自明な下界に対する初めての線形改善が確立された：R(Qn, Qn) ≥ 2.02^n + o(1)。
• R(Qn, Qn) の基本的上界に対する初めての非線形改善が達成された：R(Qn, Qn) ≤ n² − (1−o(1))n log n。
• R(Qn, Qn) = O(n^{1+o(1)}) であるという新しい予想が提示され、非二次的成長を示唆する。
• 部分順序集合 Erdős-Hajnal 数 ˜R(˙P, Qn) は自明な境界に対して線形の改善が可能であり、関連する予想を裏付ける。