[論文レビュー] Ran-Reurings theorems in ordered metric spaces

Mihai Turinici|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、順序付き距離空間におけるRan-Reuringsの不動点定理が、Maiaの1968年の不動点結果の特別な場合であることを確立する。関数的距離 $ e(x,y) = \sum_{n \geq 0} \lambda^n d(T^n x, T^n y) $ を導入することで、$ (d,\leq) $-収縮条件が $ e $-収縮性を示唆することを示し、Maiaの定理の適用を可能にする。主な貢献は、Ran-Reuringsの結果をMaiaの枠組みに統合し、準順序付き収束ほとんど距離空間および関数的バージョンへの拡張を含む。

ABSTRACT

The Ran-Reurings fixed point theorem [Proc. Amer. Math. Soc., 132 (2004), 1435-1443] is but a particular case of Maia's [Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 40 (1968), 139-143]. A "functional" version of this last result is then provided, in a convergence-metric setting.

研究の動機と目的

• Ran-Reuringsの不動点定理とMaiaのより初期の結果との基礎的関係を明確化すること。
• Ran-Reuringsの定理が、順序付き距離空間の文脈において、Maiaの不動点定理に包含されることを示すこと。
• Maiaの結果を準順序付き収束ほとんど距離空間および関数的設定へと拡張すること。
• 系列に基づく距離 $ e(x,y) $ を用いた関数的バージョンの不動点結果を提供することにより、$ d $ を下位にし、$ e $-収縮性を保証すること。
• 連続性や順序完備性の弱い条件下でも、Ran-Reuringsの定理を回復・一般化すること。

提案手法

• 収縮定数 $ \alpha \in (0,1) $ を持つ $ (d,\leq) $-収縮条件において、$ \lambda \in (1, 1/\alpha) $ に対して新しい距離 $ e(x,y) = \sum_{n \geq 0} \lambda^n d(T^n x, T^n y) $ を定義する。
• $ e $ が $ X \times X $ 上で適切に定義され、対称的かつ三角不等式を満たす距離であり、$ d $ が $ e $ に従属することを証明する。
• $ T $ が定数 $ \alpha \lambda < 1 $ を持つ $ e $-収縮的であることを示し、Maiaの不動点定理の仮定を満たすことを確認する。
• 任意の二点間の $ <> $-鎖の存在（条件 (b03)）を用いて、$ d(T^n x, T^n y) $ を幾何級数で抑え、$ e(x,y) $ の収束を保証する。
• $ d $-完備性および $ T $ の $ d $-連続性に加え、$ e $-収縮性と従属性を組み合わせることで、$ T $ が $ d $-モジュロのピカール作用素であることを示す。
• 準順序付き空間への拡張として、関数 $ f \in \mathcal{F}_i(R_+^{2n(x)+1}) $ に対する条件 (e10) および (e11) を導入し、準順序完備性および自己閉包性の下で不動点の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ran-Reuringsの不動点定理は、順序付き距離空間におけるより一般的な不動点結果の特別な場合であるか？
• RQ2 適切な距離変換を通じて、Ran-Reuringsの定理はMaiaの1968年の不動点定理から導出可能か？
• RQ3 どのような関数的距離構成が、$ (d,\leq) $-収縮性が新しい距離 $ e $ に対して $ e $-収縮性を示すことを保証するか？
• RQ4 Maiaの不動点定理は、どのようにして準順序付きおよび収束距離空間へと拡張できるか？
• RQ5 自己写像 $ T $ が左で連続でないか、$ \leq $ が区間閉じていない場合でも、準順序付き距離空間上で唯一の不動点を持つための条件は何か？

主な発見

• Ran-Reuringsの不動点定理は、関数的距離 $ e(x,y) = \sum_{n \geq 0} \lambda^n d(T^n x, T^n y) $ の構成を通じて、Maiaの1968年の不動点定理から形式的に導出可能である。
• $ e $ は適切に定義され、対称的かつ三角不等式を満たし、$ d(x,y) \leq e(x,y) $ を満たすため、$ d $-従属性が保証される。
• 自己写像 $ T $ は定数 $ \alpha \lambda < 1 $ を持つ $ e $-収縮的であるため、Maiaの定理が適用可能となり、$ T $ は $ d $-モジュロのピカール作用素である。
• Ran-Reuringsの元々の定理における正規性条件 (a03) は余分であることが示され、それは $ <> $-鎖の存在（条件 (b03)）によって暗黙的に保証される。
• 条件 (e10) および (e11) の下で、結果は準順序付き距離空間へと拡張可能であり、非連続写像の収縮行動を一般化する。
• 関数 $ f \in \mathcal{F}_i(R_+^{2n(x)+1}) $ を用いた関数的バージョンの不動点結果が確立され、定理9により、線形関数 $ f(t) = \alpha t $（$ \alpha \in (0,1) $）が正規であることが示され、連続性や完備性の弱い仮定の下でもRan-Reuringsの結果が回復される。