[論文レビュー] Randić energy and Randić eigenvalues

Xueliang Li, Jianfeng Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2014

Graph theory and applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、グラフ G の正規化された符号なしラプラシアン固有値とその分割グラフ S(G) のランディックエネルギーとの間の関係を確立し、S(G) のランディックエネルギーが G の符号なしラプラシアン行列の固有値によって完全に決定されることを証明している。さらに、連結グラフがちょうど k 個の異なるランディック固有値を持つための必要十分条件を提示し、k=2 および k=3 の場合の明示的特徴付けを、ペロン＝フロベニウスベクトルおよび行列消去多項式を用いて与えている。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph of order $n$, and $d_i$ the degree of a vertex $v_i$ of $G$. The Randić matrix ${\bf R}=(r_{ij})$ of $G$ is defined by $r_{ij} = 1 / \sqrt{d_jd_j}$ if the vertices $v_i$ and $v_j$ are adjacent in $G$ and $r_{ij}=0$ otherwise. The normalized signless Laplacian matrix $\mathcal{Q}$ is defined as $\mathcal{Q} =I+\bf{R}$, where $I$ is the identity matrix. The Randić energy is the sum of absolute values of the eigenvalues of $\bf{R}$. In this paper, we find a relation between the normalized signless Laplacian eigenvalues of $G$ and the Randić energy of its subdivided graph $S(G)$. We also give a necessary and sufficient condition for a graph to have exactly $k$ and distinct Randić eigenvalues.

研究の動機と目的

• グラフ G の正規化された符号なしラプラシアン固有値とその分割グラフ S(G) のランディックエネルギーとの間のスペクトル的関係を確立すること。
• 連結グラフがちょうど k 個の異なるランディック固有値を持つための必要十分条件を特定すること。
• 行列代数およびスペクトル的性質を用いて、ちょうど二つおよび三つの異なるランディック固有値を持つグラフを特徴付けること。
• 最小多項式およびペロン＝フロベニウス理論を用いて、ランディック固有値の重複度と構造の理解を拡張すること。

提案手法

• ブロック行列分解とシュール補行列の公式を用いて、分割グラフ S(G) のランディック行列の行列式恒等式を導出する。
• 恒等式 $ \phi_{\mathbf{R}}(S(G),\lambda) = \frac{\lambda^{m-n}}{2^n} \phi_{\mathcal{Q}}(G, 2\lambda^2) $ を用いて、S(G) のランディック多項式と G の正規化された符号なしラプラシアン多項式との関係を確立する。
• ペロン＝フロベニウス定理を適用し、連結グラフにおいてランディック行列の最大固有値が 1 で重複度 1 であることを保証する。
• ランディック行列 $ \mathbf{R} $ の最小多項式を用い、k 個の異なる固有値がある場合に $ (\lambda - 1)(\lambda - \rho_2)\cdots(\lambda - \rho_k) $ であることを示す。
• 行列方程式 $ \prod_{i=2}^{k}(\mathbf{R} - \rho_i I) = c \alpha \alpha^T $ を導出し、ここで $ c = \frac{\prod_{i=2}^{k}(1 - \rho_i)}{2m} $ であり、固有値とペロンベクトル $ \alpha $ を関連付ける。
• 行列方程式の対角成分および非対角成分を分析し、ちょうど k 個の異なるランディック固有値を持つグラフのための次数および共通隣接条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割グラフ S(G) のランディック固有値は、G の正規化された符号なしラプラシアン固有値とどのように関係しているか？
• RQ2 連結グラフがちょうど k 個の異なるランディック固有値を持つことを保証するスペクトル的条件は何か？
• RQ3 ちょうど二つの異なるランディック固有値を持つグラフに対してはどのような構造的制約が生じるか？
• RQ4 ちょうど三つの異なるランディック固有値を持つグラフを特徴付ける次数および共通隣接条件は何か？
• RQ5 ランディック行列の最小多項式を用いて、与えられた数の異なる固有値を持つグラフを特徴付けることができるか？

主な発見

• 分割グラフ S(G) のランディックエネルギーは、正規化された符号なしラプラシアン行列 $ \mathcal{Q}(G) $ の固有値によって完全に決定され、関係式 $ \phi_{\mathbf{R}}(S(G),\lambda) = \frac{\lambda^{m-n}}{2^n} \phi_{\mathcal{Q}}(G, 2\lambda^2) $ で与えられる。
• 連結グラフがちょうど二つの異なるランディック固有値を持つための必要十分条件は、それが完全グラフであることである。これは固有値 $ 1 $ と $ -\frac{1}{n-1} $ を行列方程式に代入し、すべての頂点に対して $ d_i = n-1 $ を導出することで示される。
• ちょうど三つの異なるランディック固有値 $ 1, \rho_2, \rho_3 $ を持つグラフでは、条件 $ \sum_{v_j \sim u_i} \frac{1}{d_j} = c d_i^2 - \rho_2 \rho_3 d_i $、$ \delta_{ij} = c d_i d_j + \rho_2 + \rho_3 $、および $ \sigma_{ij} = c d_i d_j $ が成り立つ必要がある。ここで $ c = \frac{(1 - \rho_2)(1 - \rho_3)}{2m} $ である。
• 正則な連結グラフがちょうど三つの異なるランディック固有値を持つための必要十分条件は、それが強い正則グラフであることである。これは次数および共通隣接条件が強正則性パラメータに簡略化されるためである。
• ランディック行列 $ \mathbf{R} $ の最小多項式は、k 個の異なる固有値がある場合に $ (\lambda - 1)(\lambda - \rho_2)\cdots(\lambda - \rho_k) $ であり、この多項式は $ \mathbf{R} $ を消去する。
• 行列方程式 $ \prod_{i=2}^{k}(\mathbf{R} - \rho_i I) = c \alpha \alpha^T $ は $ c = \frac{\prod_{i=2}^{k}(1 - \rho_i)}{2m} $ で成り立ち、これは k 個の異なるランディック固有値を持つグラフの完全な代数的特徴付けを提供する。