[論文レビュー] Randić Incidence Energy of Graphs

Ran Gu, Fei Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2014

Graph theory and applications参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、次数行列 $ D $ と標準的接続行列 $ I(G) $ を用いて定義される $ I_R(G) = D^{-1/2}I(G) $ として与えられるランディッチ接続行列の特異値の和として、グラフのランディッチ接続エネルギー（IRE）を導入する。本稿では、IREのタイトな境界を確立し、すべての $ n $ 頂点からなる木グラフの中で星形グラフ $ S_n $ がIREを最大化することを証明している。また、二部グラフにおける上界は $ n - 2 + \sqrt{2} $ であり、これは完全二部グラフによってのみ達成される。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph with vertex set $V(G) = \{v_1, v_2,\ldots, v_n\}$ and edge set $E(G) = \{e_1, e_2,\ldots, e_m\}$. Similar to the Randić matrix, here we introduce the Randić incidence matrix of a graph $G$, denoted by $I_R(G)$, which is defined as the $n imes m$ matrix whose $(i, j)$-entry is $(d_i)^{-\frac{1}{2}}$ if $v_i$ is incident to $e_j$ and $0$ otherwise. Naturally, the Randić incidence energy $I_RE$ of $G$ is the sum of the singular values of $I_R(G)$. We establish lower and upper bounds for the Randić incidence energy. Graphs for which these bounds are best possible are characterized. Moreover, we investigate the relation between the Randić incidence energy of a graph and that of its subgraphs. Also we give a sharp upper bound for the Randić incidence energy of a bipartite graph and determine the trees with the maximum Randić incidence energy among all $n$-vertex trees. As a result, some results are very different from those for incidence energy.

研究の動機と目的

• ランディッチ接続行列に基づく新しいグラフエネルギー概念を定義し、標準的接続エネルギーを一般化すること。
• 一般グラフのランディッチ接続エネルギーに対する鋭い下界および上界を確立すること。
• 特に二部グラフおよび木グラフに注目して、これらの境界を達成するグラフを同定すること。
• ランディッチ接続エネルギーが標準的接続エネルギーおよび他のグラフエネルギー概念と比較してどのように振る舞うかを検討すること。
• 特に木グラフのクラスにおいて、ランディッチ接続エネルギーを最大にするグラフの構造的性質を調査すること。

提案手法

• 頂点 $ v_i $ が辺 $ e_j $ に接続されている場合、$ (i,j) $ 成分が $ d_i^{-1/2} $ であり、それ以外の場合は 0 である $ n \times m $ 行列としてランディッチ接続行列 $ I_R(G) $ を定義する。
• ランディッチ接続エネルギー $ I_RE(G) $ を $ I_R(G) $ の特異値の和として表し、これは $ \sum_{i=1}^r \sqrt{\mu_i^+(G[W])} $ に等しい。ここで $ \mu_i^+ $ は正規化された非負ラプラシアン行列の固有値を表す。
• 恒等式 $ I_R(G)I_R(G)^T = \mathcal{Q}(G[W]) $ を用いる。ここで $ \mathcal{Q}(G[W]) $ は非孤立頂点によって誘導される部分グラフの正規化された非負ラプラシアン行列を表す。
• カウチ–シュバルツの不等式を適用して、二部グラフにおける $ I_RE(G) $ の上界を導出し、$ n - 2 + \sqrt{2} $ に至る。
• ランクおよび特異値の解析を用いて、辺の削除によるエネルギーの減少が $ K_2 $ のみで等号が成り立つこと、つまり $ n \geq 3 $ の場合に厳密に単調減少であることを示す。
• スペクトル的性質を用いて極値グラフを同定する：境界における等号成立は、正規化ラプラシアンの固有値が $ 2, 1, \dots, 1, 0 $ である場合にかつその場合に限り成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般グラフのランディッチ接続エネルギーに対する、最もタイトな下界および上界は何か？
• RQ2 すべての $ n $ 頂点からなる木グラフの中で、ランディッチ接続エネルギーを最大にするグラフは何か？
• RQ3 二部グラフにおけるランディッチ接続エネルギーの鋭い上界は何か？ そして、どのグラフがそれを達成するか？
• RQ4 辺の削除に伴うランディッチ接続エネルギーの振る舞いはどのようにか？ いつ厳密に減少するか？
• RQ5 標準的接続エネルギーおよび他のグラフエネルギー概念と比較して、ランディッチ接続エネルギーの極値的性質はどのように異なるか？

主な発見

• 孤立頂点を含まない任意のグラフ $ G $ に対して、$ I_RE(G) = \sum_{i=1}^n \sigma_i(G) = \sum_{i=1}^n \sqrt{\mu_i^+(G)} $ が成り立つ。ここで $ \mu_i^+ $ は正規化された非負ラプラシアン行列の固有値を表す。
• 位数 $ n $ の二部グラフにおけるランディッチ接続エネルギーの上界は $ n - 2 + \sqrt{2} $ であり、等号成立は $ G $ が完全二部グラフである場合にかつその場合に限り成立する。
• すべての $ n $ 頂点からなる木グラフの中で、星形グラフ $ S_n = K_{1,n-1} $ が一意にランディッチ接続エネルギーを最大にする。
• 辺の削除に伴い、$ G = K_2 $ を除き、ランディッチ接続エネルギーは厳密に減少する。つまり、すべての $ n \geq 3 $ に対して $ I_RE(G) > I_RE(G-e) $ が成り立つ。
• 木グラフの中で最大のIREを達成する極値グラフは星形であるが、これは標準的接続エネルギーとは対照的であり、その場合、最大エネルギーを達成するのはパス $ P_n $ である。
• パrameter $ \alpha \neq 0 $ を用いて、成分が $ d_i^\alpha $ である行列族への一般化を、今後の研究の方向性として提案する。