[論文レビュー] Random Almost Periodic Solutions of Random Dynamical Systems

Weili Zhang, Zuohuan Zheng|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率的力学系におけるランダムなほぼ周期的解の概念を導入し、適切な条件下でその存在を確立するとともに、それらをほぼ周期的確率測度と関連付ける。主な貢献は、ランダムなほぼ周期的解がほぼ周期的不変測度を生成することを証明し、決定論的ほぼ周期的理論を確率的設定に拡張することであり、SDE やマルコフ過程への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we first give the definition of random almost periodic solutions of random dynamical systems and give some examples. Then, we prove the existence of such random almost periodic solutions. Further, we introduce the definition of random almost periodic measure. Finally, we discuss the relationship between random almost periodic solutions and almost periodic measures.

研究の動機と目的

• ランダム力学系におけるランダムなほぼ周期的解の定義とその存在の確立。
• ランダムなほぼ周期的測度の概念を導入し、それらをランダム力学系の解と関連付ける。
• ランダムなほぼ周期的解とほぼ周期的不変測度を結びつけることで、決定論的ほぼ周期的理論を確率的設定に拡張する。
• SDE やマルコフ過程のような系における非周期的だが再発的となる確率的現象を分析するための枠組みを提供する。

提案手法

• 確率空間におけるシフト時刻 τₖ に対する相対的稠密性条件を用いて、分布における一様近似を保証する形で、ランダムなほぼ周期的解を定義する。
• 有界性および連続性の条件下で存在を証明するため、ランダム力学系に適応されたクリーロフ＝ボゴリューボフ法を用いる。
• マルコフ的ランダム力学系に対して、遷移確率測度 Pₜ*λ の族を構成し、関連する測度値過程を定義する。
• H がランダムなほぼ周期的解であるとき、λₜ(A) = P(H(t, θ₋ₜω) ∈ A) で定義される押し出し測度 λₜ が、ほぼ周期的測度であることを証明する。
• 測度の収束を定量化し、測度族のほぼ周期性を確立するために、ワッサーシュタイン-1距離 ρ₁ を適用する。
• マルコフ性と測度を保存する変換 θₜ を活用し、時間同次性および構築された測度の不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ周期性の概念は、決定論的系からランダム力学系へどのように拡張可能か？
• RQ2 どのような条件下で、ランダム力学系がランダムなほぼ周期的解を有するか？
• RQ3 位相空間におけるランダムなほぼ周期的解とほぼ周期的不変測度の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 ランダムなほぼ周期的解の存在は、状態空間上でのほぼ周期的確率測度の存在を示唆するか？
• RQ5 ランダムなほぼ周期的解は、確率的系における定常解やランダム周期的解とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、コサイクルおよび状態空間の有界性と連続性の仮定の下で、ランダムなほぼ周期的解の存在を証明している。
• ランダムなほぼ周期的解 H が、λₜ(A) = P(H(t, θ₋ₜω) ∈ A) で定義されるほぼ周期的測度 λₜ を生成することを確立している。
• 測度族 λₜ がワッサーシュタイン-1距離においてほぼ周期的であることが示されており、相対的に稠密な τₖ の集合に対して ρ₁(λₛ₊ₜₖ, λₛ) < ε が成り立つ。
• H(t, θ₋ₜω) の押し出しによる λₜ の構成は、系のマルコフ構造と整合性を持つことを保証している。
• ランダムなほぼ周期的解とほぼ周期的測度の関係は、ほとんどすべての ω に対して (μₜ)ₐ = δ_{H(t,θ₋ₜω)} という因子分解によって形式化されている。
• 結果として、決定論的ほぼ周期的理論が確率的設定に一般化され、周期性を超える再発的確率的現象をモデル化するための枠組みが提供された。