[論文レビュー] Random attractor of the 3D viscous primitive equations driven by fractional noises

Guoli Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非周期的境界条件下で無限次元の分数 Browm 動きによって駆動される 3D 黏性原始方程式に対して、確率的アトラクタ（強いアトラクタ）の存在を確立する。著者らは、解作用素のコンパクト性と有界な吸引集合の存在に依拠する、従来の高正則性空間における Sobolev 嵪合技術の限界を克服する新しい手法を提案し、散逸的確率偏微分方程式に一般化可能な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We develop a new and general method to prove the the existence of the random attractor (strong attractor) for the primitive equations (PEs) of large-scale ocean and atmosphere dynamics under $non$-$periodic$ boundary conditions and driven by infinite-dimensional additive fractional Wiener processes. In contrast to our new method, the common method, compact Sobolev embedding theorem, is to obtain the uniform $a$ $priori$ estimates in some Sobolev space whose regularity is high enough. But this is very complicated for the 3D stochastic PEs with the $non$-$periodic$ boundary conditions. Therefore, the existence of universal attractor ( weak attractor) was established in previous work. The main idea of our method is that we first derive that $\mathbb{P}$-almost surely the solution operator of stochastic PEs is compact. Then we construct a compact absorbing set by virtue of the compact property of the the solution operator and the existence of a absorbing set. We should point out that our method has some advantages over the common method of using compact Sobolev embedding theorem, i.e., if the random attractor in some Sobolev space do exist in view of the common method, our method would then further implies the existence of random attractor in this space. The present work provides a general way for proving the existence of random attractor for common classes of dissipative stochastic partial differential equations and improves the existing results concerning random attractor of stochastic PEs. In a forth coming paper, we use this new method to prove the existence of strong attractor for the stochastic moist primitive equations, improving the results, the existence of weak (universal) attractor of the deterministic model.

研究の動機と目的

• 非周期的境界条件下における 3D 黏性原始方程式に対して、確率的アトラクタ（強いアトラクタ）の存在を確立すること。
• 非周期的境界を持つ 3D 確率的原始方程式に対して、高正則性空間におけるコンパクトな Sobolev 嵐合定理を適用する技術的課題を克服すること。
• 広範な散逸的確率偏微分方程式のクラスに適用可能な一般化可能な手法を開発すること。
• 従来の結果が決定論的設定において弱（普遍的）アトラクタの存在しか確立しなかったのを改善すること。
• より複雑なモデル、例えば確率的湿潰れ原始方程式において強いアトラクタを証明する基盤を築くこと。

提案手法

• 解作用素が P-ほとんど surely コンパクトであることをまず確立することで、確率的アトラクタの存在を証明する新しい手法を導入すること。
• 解作用素のコンパクト性と有界な吸引集合の存在を組み合わせ、コンパクトな吸引集合を構成すること。
• 標準的なアプローチであるコンパクトな Sobolev 嵐合に代えて、解作用素の内在的コンパクト性に基づく動的システム的議論を採用すること。
• Hurst パrameter H > 1/2 を持つ無限次元の分数ウィーナー過程によって駆動される 3D 確率的原始方程式にこの手法を適用すること。
• エネルギー推定と Gronwall 型不等式を用いて、速度場および温度場の H^1 および H^2 範囲における一様な a priori 界を導出すること。
• Minkowski 不等式および Hölder 不等式、補間不等式、Sobolev 嵐合を用いて、エネルギー推定における非線形項を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非周期的境界条件下で分数ノイズによって駆動される 3D 黏性原始方程式に対して、強い（確率的）アトラクタが存在しうるか？
• RQ2 高正則性空間におけるコンパクトな Sobolev 嵐合に依存せずに、確率的アトラクタの存在を証明することは可能か？
• RQ3 両手法が適用可能な場合、提案手法が古典的手法よりも強い結果をもたらすか？
• RQ4 この手法は他の種類の散逸的確率偏微分方程式に一般化可能か？
• RQ5 分数ノイズを伴う確率的原始方程式の長期的ダイナミクスにおける正則性およびコンパクト性構造はいかなるものか？

主な発見

• 3D 確率的原始方程式の解作用素は P-ほとんど surely コンパクトであり、これによりコンパクトな吸引集合を構成できる。
• 非周期的境界条件下における 3D 黏性原始方程式の位相空間 H^1 × H^1 に確率的アトラクタ（強いアトラクタ）が存在する。
• この手法は、古典的手法が適用可能な Sobolev 空間においても確率的アトラクタの存在を保証するが、より強い動的意味を持つ。
• 速度場および温度場の H^1 および H^2 範囲における一様な a priori 界が、時間に一様かつ全測度集合内のすべての ω に対して確立された。
• 解作用素のコンパクト性と有界な吸引集合の存在の相乗効果により、コンパクトな吸引集合の存在が証明された。
• 結果はパラメータの選択に強く依存せず、ν_i = μ_i = 1 の場合にも適用可能であり、他の値への一般化は容易である。