[論文レビュー] Random band matrices in the delocalized phase, I: Quantum unique ergodicity and universality

Paul Bourgade, Horng‐Tzer Yau+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 24被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、$W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ を満たす大規模な1次元ランダムバンド行列について、普遍性および量子的ユニークエルゴディシティを確立し、この領域へ平均場還元法を拡張する。スミルノフ法則がスケール $N^{-1+\varepsilon}$ まで成り立ち、局所固有値統計はGOEに収束し、固有ベクトルは $L^\infty$ ノルム $\leq N^{-1/2+\varepsilon}$ で局所化されており、局所 $L^2$ 質量は途方なく高い確率で均等分配される。

ABSTRACT

Consider $N imes N$ symmetric one-dimensional random band matrices with general distribution of the entries and band width $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ for any $\varepsilon>0$. In the bulk of the spectrum and in the large $N$ limit, we obtain the following results. (i) The semicircle law holds up to the scale $N^{-1+\varepsilon}$ for any $\varepsilon>0$. (ii) The eigenvalues locally converge to the point process given by the Gaussian orthogonal ensemble at any fixed energy. (iii) All eigenvectors are delocalized, meaning their ${ m L}^\infty$ norms are all simultaneously bounded by $N^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}$ (after normalization in ${ m L}^2$) with overwhelming probability, for any $\varepsilon>0$. (iv )Quantum unique ergodicity holds, in the sense that the local ${ m L}^2$ mass of eigenvectors becomes equidistributed with overwhelming probability. We extend the mean-field reduction method \cite{BouErdYauYin2017}, which required $W=Ω(N)$, to the current setting $W \ge N^{3/4+\varepsilon}$. Two new ideas are: (1) A new estimate on the "generalized resolvent" of band matrices when $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$. Its proof, along with an improved fluctuation average estimate, will be presented in parts 2 and 3 of this series \cite {BouYanYauYin2018,YanYin2018}. (2) A strong (high probability) version of the quantum unique ergodicity property of random matrices. For its proof, we construct perfect matching observables of eigenvector overlaps and show they satisfying the eigenvector moment flow equation \cite{BouYau2017} under the matrix Brownian motions.

研究の動機と目的

• 1次元ランダムバンド行列の局所固有値統計の普遍性を、バンド幅 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ の局所化された相において確立すること。
• 固有ベクトルに関して量子的ユニークエルゴディシティ（QUE）を証明し、局所 $L^2$ 質量が途方なく高い確率で均等分配されることを示すこと。
• 従来 $W = \Omega(N)$ の場合にのみ有効であった平均場還元法を、$W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ の領域にまで拡張すること。
• この領域におけるバンド行列の一般化リソルベントに関する新しい推定およびフラクチュエーション平均の改善を確立すること。

提案手法

• 平均場還元法を $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ のバンド行列に適応し、確率的量子的ユニークエルゴディシティをより強い局所化条件として用いる。
• $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ の領域におけるバンド行列の一般化リソルベントに関する新しい推定を導入し、スペクトル統計の制御に不可欠である。
• 固有ベクトル重なりのための完全マッチング観測量の構成を通じて、量子的ユニークエルゴディシティの強い高確率版を構築する。
• 行列ブラウン運動下での固有ベクトルモーメントフロー方程式の適用により、固有ベクトル統計を分析し、均等分配を証明する。
• 標準的な比較技法が失敗するバンド行列のスパarsな構造に適応した比較法を用いて、普遍性を確立する。
• 一般化リソルベント制御の基盤をなす、改善されたフラクチュエーション平均推定を統合し、以降のシリーズの部分で詳細に述べる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムバンド行列について $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ のとき、スミルノフ法則はスケール $N^{-1+\varepsilon}$ まで成り立つか？
• RQ2 このような行列について、バルク領域における局所固有値統計は、ガウス正交アンサンブル（GOE）に収束するか？
• RQ3 すべての固有ベクトルは、$\|\psi\|_{L^\infty} \leq N^{-1/2+\varepsilon}$ で、途方なく高い確率で局所化されているか？
• RQ4 量子的ユニークエルゴディシティは成り立つか、つまり固有ベクトルの局所 $L^2$ 質量は系全体に均等に分配されるか？
• RQ5 平均場還元法は、$N$ に対して非線形な $W$ を満たすバンド行列 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ にまで拡張可能か？

主な発見

• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$N \times N$ 対称ランダムバンド行列で $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ を満たすものについて、バルクスペクトルにおいてスケール $N^{-1+\varepsilon}$ までスミルノフ法則が成り立つ。
• 任意の固定エネルギーにおけるバルク領域で、局所固有値統計はGOE点過程に収束し、普遍性が確認された。
• すべての固有ベクトルは局所化されている：任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$L^\infty$ ノルムが $N^{-1/2+\varepsilon}$ 以下である確率は途方なく高い。
• 量子的ユニークエルゴディシティが成り立つ：固有ベクトルの局所 $L^2$ 質量は、途方なく高い確率で系全体に均等に分配される。
• 平均場還元法は、$W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ の領域に成功裏に拡張され、この非平均場設定における普遍性の証明を可能にした。
• 一般化リソルベントに関する新しい推定および改善されたフラクチュエーション平均が確立され、解析の基盤をなしており、以降のシリーズの部分で詳細に述べられる。