[論文レビュー] Random Bistochastic Matrices

Valerio Cappellini, H.-J. Sommers+2 more|ArXiv.org|Nov 21, 2007

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ランダムなストキャスティック行列にSinkhornアルゴリズムを適用することで生じる確率分布を分析することにより、ランダムな双確率行列を調査する。N=2の場合の明示的公式を導出し、Birkhoff多面体の中心付近で局所的に平坦な分布をもたらす初期Dirichletアンサンブルを構築することで、最近の漸近的結果と整合する体積推定が可能になる。

ABSTRACT

Ensembles of random stochastic and bistochastic matrices are investigated. While all columns of a random stochastic matrix can be chosen independently, the rows and columns of a bistochastic matrix have to be correlated. We evaluate the probability measure induced into the Birkhoff polytope of bistochastic matrices by applying the Sinkhorn algorithm to a given ensemble of random stochastic matrices. For matrices of order N=2 we derive explicit formulae for the probability distributions induced by random stochastic matrices with columns distributed according to the Dirichlet distribution. For arbitrary $N$ we construct an initial ensemble of stochastic matrices which allows one to generate random bistochastic matrices according to a distribution locally flat at the center of the Birkhoff polytope. The value of the probability density at this point enables us to obtain an estimation of the volume of the Birkhoff polytope, consistent with recent asymptotic results.

研究の動機と目的

• ランダムなストキャスティック行列にSinkhornアルゴリズムを適用した際に、Birkhoff多面体上に生じる確率測度を理解すること。
• 出力された双確率行列がBirkhoff多面体の中心付近で一様（局所的に平坦）に分布するような初期ストキャスティック行列アンサンブルを構築すること。
• 中心における確率密度を用いて、Birkhoff多面体の体積を推定すること。これは最近の漸近的結果と整合する。
• 中心付近における分布の高次モーメント、特に一様性の3次補正項を分析すること。

提案手法

• ランダムなストキャスティック行列を双確率行列に変換するために、交互に行と列の正規化を繰り返すSinkhornアルゴリズムを適用する。
• 初期の列分布としてDirichlet分布を用い、パrameter s を用いて初期アンサンブルを生成する。
• 初期Dirichletパrameter に基づいて、出力された双確率行列の確率密度の暗黙的公式（式36）を導出する。
• Birkhoff多面体の中心の周囲における確率密度のべき級数展開を3次まで行う。
• 2次項 c₂ が消えるように、特定のDirichletパrameter s = σ/N を選ぶことで、中心付近での曲率を最小化する。
• 3次係数 c₃ を明示的に計算し、c₂ = 0 であっても非ゼロのまま残ることを示し、一様性を3次まで満たす分布が得られないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dirichlet分布に従う列を持つランダムなストキャスティック行列にSinkhornアルゴリズムを適用した場合、Birkhoff多面体上にどのような確率分布が生じるか？
• RQ2 出力分布がBirkhoff多面体の中心付近で局所的に平坦になるような初期Dirichletアンサンブルを構築できるか？
• RQ3 Birkhoff多面体の中心における確率密度の値は何か？ そして、多面体の体積とどのように関係するか？
• RQ4 高次モーメント（特に3次項）は、中心付近における分布の局所的形状にどのように影響するか？
• RQ5 3次までの一様性を達成しようとした場合、分布の非対称性のスケールはどの程度か？

主な発見

• N=2の場合、Dirichlet分布に従うストキャスティック行列から生成される双確率行列の確率分布について、明示的な閉形式式を導出した。
• Birkhoff多面体の中心における確率密度は P*ₙ で与えられ、これはCanfieldとMcKayの漸近的結果と整合する多面体体積の推定に寄与する。
• Dirichletパラメータを s = σ/N（σ = Ns）に設定することで、確率密度の展開における2次係数 c₂ が消え、中心付近での曲率が最小化される。
• c₂ = 0 であっても3次係数 c₃ は非ゼロのまま残り、一様性を3次まで満たす分布は得られないことを示している。
• 分布の非対称性のスケールは δB ∝ N⁻¹ᐟ³ であり、一様性からのずれはこのスケールより大きな距離では顕著に現れる。
• 3次展開により、主な非対称性項が ∑(δBₚq)³ の形で現れ、係数 c₃ = N/3 + 1/N − 4/(3N³) + O(N⁻⁵) であることが確認され、中心付近に恒久的な非ガウス的特徴が存在することが裏付けられた。