[論文レビュー] Random colourings of aperiodic graphs: Ergodic and spectral properties

Peter Müller, Christoph Richard|ArXiv.org|Sep 6, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間内の非周期的で一様に離散的なグラフの結合確率部分グラフにおけるグラフラプラシアンの下位スペクトル端におけるLifshits尾挙動を確立する。ランダムに彩色されたグラフのためのエルゴディック力学系を構築し、エルゴディック定理を証明し、小さな結合確率におけるクラスターサイズ分布の指数的減衰を示すことにより、スペクトルの非確率的性質と積分密度の自己平均化を示した。これは、基本グラフにやや弱い幾何的仮定を課したもとで、Lifshits尾漸近の導出に至る。

ABSTRACT

We study randomly coloured graphs embedded into Euclidean space, whose vertex sets are infinite, uniformly discrete subsets of finite local complexity. We construct the appropriate ergodic dynamical systems, explicitly characterise ergodic measures, and prove an ergodic theorem. For covariant operators of finite range defined on those graphs, we show the existence and self-averaging of the integrated density of states, as well as the non-randomness of the spectrum. Our main result establishes Lifshits tails at the lower spectral edge of the graph Laplacian on bond percolation subgraphs, for sufficiently small probabilities. Among other assumptions, its proof requires exponential decay of the cluster-size distribution for percolation on rather general graphs.

研究の動機と目的

• 有限局所複雑性を有するランダムに彩色された非周期的グラフへ、エルゴディック理論およびスペクトル理論を拡張すること。
• このようなグラフ上における有限範囲共変作用素の統合密度の状態の存在および自己平均化を確立すること。
• 小さな結合確率における非透過状態におけるクラスターサイズ分布の指数的減衰を証明すること。
• これらの条件下で、結合確率部分グラフにおけるグラフラプラシアンの下位スペクトル端におけるLifshits尾挙動を導出すること。

提案手法

• 一般化された[Ho3]の手法を用いて、ランダムに彩色された非周期的グラフのためのエルゴディック力学系を構築し、エルゴディック測度を明示的に特徴づける。
• ランダムに彩色されたグラフの力学系に対して、エルゴディック定理（定理3.5）を証明し、従来の結果を周期的でない非周期的構造へ拡張する。
• 統合密度の状態をマクロな極限（定理4.5）で特徴づけ、有限範囲共変作用素に対してスペクトルの非確率的性質（定理4.7）を証明する。
• 頂点から距離nまでの開パスが到達する確率の指数的減衰推定（補題7.2）を導出し、これは結合確率p < 1/(d_max - 1)に対して有効である。
• このパス確率の上限を用いて、クラスターサイズ分布の指数的減衰（定理7.4）を証明し、r, d_max, l_maxに依存する一様な減衰率λ(p)を導出する。
• クラスターサイズの減衰を応用し、結合確率部分グラフにおけるグラフラプラシアンの下位スペクトル端におけるLifshits尾挙動を確立する（定理5.2）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限局所複雑性を有するランダムに彩色された非周期的グラフ上における有限範囲作用素の統合密度の状態は存在し、自己平均化するか？
• RQ2 一般のエルゴディシティ仮定のもとで、このような作用素のスペクトルが非確率的であることを示せるか？
• RQ3 有界次数および有限辺長を有する一般の非周期的グラフにおいて、非透過状態におけるクラスターサイズ分布は指数的に減衰するか？
• RQ4 結合確率部分グラフにおけるグラフラプラシアンのスペクトル分布の下位エッジ付近における漸近的挙動は何か？
• RQ5 このような系において、下位スペクトル端にLifshits尾挙動が現れる条件は何か？

主な発見

• 有限範囲共変作用素の統合密度の状態は、ランダムに彩色された非周期的グラフ上に存在し、マクロな極限（定理4.5）によって特徴づけられ、自己平均化する。
• このような作用素のスペクトルは非確率的であり、統合密度の状態の成長点の集合と一致する（定理4.7）。
• 結合確率p < 1/(d_max - 1)に対して、サイズがn以上であるクラスターの確率は、頂点およびグラフに依存しない一様な減衰率λ(p) ≤ [2χ(p)^2]^{-1} で指数的に減少する（定理7.4）。
• p < 1/(d_max - 1)のとき、平均クラスターサイズはχ(p) < ∞で一様に有界であり、これによりクラスターサイズ分布の指数的減衰が導かれる（補題7.3）。
• 指数的クラスターサイズ減衰の仮定のもとで、結合確率部分グラフにおけるグラフラプラシアンの下位スペクトル端におけるLifshits尾挙動が確立される（定理5.2）。
• パス確率推定（7.4）における減衰率ψ(p)はψ(p) = (1/l_max) ln(1/(p(d_max - 1))) で与えられ、十分に小さなpに対して指数的減衰を保証する。