[論文レビュー] Random Conductance Models with Stable-like Jumps: Quenched Invariance Principle

Xin Chen, Takashi Kumagai+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}^d$ 上の長距離ランダムコンダクタンスモデルに対して、$\alpha$-安定的類似のジャンプをもつ場合のクエンチド不変性原理を確立する。遷移率は $|x-y|^{-(d+\alpha)}$ のように減少し、$\alpha \in (0,2)$ である。確率的ポテンシャル論および非楕円型ハーナック不等式を用いて、コンダクタンスが退化しているか、非同一分布であっても、スケーリング極限がスコロホド位相で対称 $\alpha$-安定 Lévy過程であることを証明する。

ABSTRACT

We study the quenched invariance principle for random conductance models with long range jumps on $\Z^d$, where the transition probability from $x$ to $y$ is, on average, comparable to $|x-y|^{-(d+α)}$ with $α\in (0,2)$ but is allowed to be degenerate. Under some moment conditions on the conductance, we prove that the scaling limit of the Markov process is a symmetric $α$-stable Lévy process on $\R^d$.The well-known corrector method in homogenization theory does not seem to work in this setting. Instead, we utilize probabilistic potential theory for the corresponding jump processes. Two essential ingredients of our proof are the tightness estimate and the Hölder regularity of caloric functions for non-elliptic $α$-stable-like processes on graphs. Our method is robust enough to apply not only for $\Z^d$ but also for more general graphs whose scaling limits are nice metric measure spaces.

研究の動機と目的

• 長距離ランダムコンダクタンスモデルが $\mathbb{Z}^d$ 上にあり、$\alpha$-安定的類似のジャンプレートを持つ場合のクエンチド不変性原理を確立すること。
• 長距離設定では $L^2$ 可積分性が欠如するため、古典的手法（正規化子法など）が失敗する状況を克服すること。
• 一般のグラフにまで適用可能な強固な手法を構築すること。特に、スケーリング極限が良い距離測度空間であるようなグラフに適用可能であること。
• すべての $\alpha \in (0,2)$ に対して、スコロホド位相で収束を証明すること。$\alpha \geq 1$ の場合を含み、以前の結果が $\alpha < 1$ に限られていたのを拡張すること。
• 翻訳不変性や「粒子から見た環境」に依存しない、退化・非同一分布・非エルゴード的コンダクタンスを持つモデルに対しても、クエンチド推定を可能にすること。

提案手法

• グラフ上の非楕円型 $\alpha$-安定的類似ジャンプ過程に確率的ポテンシャル論を適用する。
• 一様楕円性が欠如する状況において、タイトネス推定およびカロリック関数のホルダー連続性を主要な道具として用いる。
• 時間変更法を用いて可変速度過程を定数速度過程に変換し、時間変更された安定 Lévy 過程への収束を可能にする。
• ボレル＝カンテリの補題を用いて、コンダクタンス分布に強い混合条件が成り立つ場合のクエンチド推定を導出する。
• 疎で長距離的なコンダクタンス構造に適した、非一様ハーナック不等式およびヒートコアネル推定を確立する。
• 環境過程のエルゴード性および定常性に依存して、時間平均コンダクタンスが確率的収率で定数 $C_{d,\alpha}$ に収束することを正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンダクタンスが退化しているか、非同一分布である場合に、$\mathbb{Z}^d$ 上の長距離ランダムコンダクタンスモデルに対して、$\alpha$-安定的類似ジャンプを持つクエンチド不変性原理を確立できるか。
• RQ2 古典的手法（正規化子法）は、この長距離的・非楕円的設定では失敗するのか。もし失敗するならば、代替フレームワークは何か。
• RQ3 すべての $\alpha \in (0,2)$ に対して、スコロホド位相で対称 $\alpha$-安定 Lévy 過程への収束を証明できるか。特に $\alpha \geq 1$ の場合を含む。
• RQ4 クエンチド不変性原理を、$\mathbb{Z}^d$ を超えて、スケーリング極限が良い距離測度空間である一般のグラフへと拡張できるか。
• RQ5 「粒子から見た環境」や翻訳不変性に依存せずに、クエンチド推定を導出することは可能か。

主な発見

• 可変速度 $\alpha$-安定的類似ランダムウォークのスケーリング極限は、すべての $\alpha \in (0,2)$ に対してスコロホド位相で対称 $\alpha$-安定 Lévy 過程である。
• 定数速度過程の場合、スケーリング極限は時間変更された対称 $\alpha$-安定 Lévy 過程 $Y_{C_{d,\alpha}^{-1} \cdot}$ である。ここで $C_{d,\alpha} = \sum_{y \neq 0} |y|^{-d-\alpha}$ である。
• 正規化子アプローチを避けて、非楕円的設定におけるカロリック関数のホルダー連続性およびタイトネス推定に依存する手法を採用する。
• このアプローチは強固であり、$\mathbb{Z}^d$ に限らず、スケーリング極限が良い距離測度空間である一般のグラフへも適用可能である。
• 強い混合条件が成り立つ限り、退化・非同一分布・非エルゴード的コンダクタンス場に対しても本手法は有効である。
• 長距離コンダクタンスモデルでは一般にハーナック不等式が成り立たないため、デ・ジョルジ＝ナシュ＝モーザー理論の既存の枠組みに新たな修正を加える必要がある。