[論文レビュー] Random cones in high dimensions I: Donoho-Tanner and Cover-Efron cones

Thomas Godland, Zakhar Kabluchko+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、高次元における2つのランダムコーンモデル—Donoho-Tannerコーン $D_{n,d}$ とCover-Efronコーン $C_{n,d}$—の組み合わせ的・幾何的関数値に対する極限定理を確立する。ここで、$C_{n,d}$ は $\mathbb{R}^d$ を張らないように条件付けられたDonoho-Tannerコーンである。期待統計次元の明確な漸近的挙動が導かれ、臨界比 $\delta = 1/2$ における高次元の相転移が明らかになる。特に、$n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$ の臨界ウィンドウ内では正確な極限が得られる。

ABSTRACT

Two models of random cones in high dimensions are considered, together with their duals. The Donoho-Tanner random cone $D_{n,d}$ can be defined as the positive hull of $n$ independent $d$-dimensional Gaussian random vectors. The Cover-Efron random cone $C_{n,d}$ is essentially defined as the same positive hull, conditioned on the event that it is not the whole space. We consider expectations of various combinatorial and geometric functionals of these random cones and prove that they satisfy limit theorems, as $d$ and $n$ tend to infinity in a suitably coordinated way. This includes, for example, large deviation principles and central as well as non-central limit theorems for the expected number of $k$-faces and the $k$-th conic intrinsic volumes, as $n$, $d$ and possibly also $k$ tend to infinity simultaneously. Furthermore, we determine the precise high-dimensional asymptotic behaviour of the expected statistical dimension for both models of random cones, uncovering thereby another high-dimensional phase transition. As an application, limit theorems for the number of $k$-faces of high-dimensional polytopes generated by random Gale diagrams are discussed as well.

研究の動機と目的

• ランダムコーンの主要な幾何的および組み合わせ的関数値（例えば、面数やコネック・内挿的体積）の高次元における漸近的挙動を分析すること。
• $n$, $d$, および $k$ が同時に増加する際の $k$-面の期待数および $k$-番目のコネック内挿的体積の極限定理を確立すること。
• Donoho-TannerおよびCover-Efronランダムコーンの期待統計次元の正確な高次元漸近的挙動を特定すること。
• Cover-Efronコーンの $k$-面の期待数における相転移の未解決事例 $\delta = 1/2$ を解明すること。
• 結果を、ランダムGale図で生成される高次元多面体の $k$-面数に関する極限定理への応用を行うこと。

提案手法

• $n$ 個の $d$ 次元独立同一分布のガウス分布ベクトルの正の包としてDonoho-Tannerコーン $D_{n,d}$ を定義し、同様に $\mathbb{R}^d$ を張らないように条件付けたものをCover-Efronコーン $C_{n,d}$ とする。
• 確率幾何学および球面積分幾何学から導かれる明示的な期待値の公式（例えば、面数やコネック内挿的体積）を用いる。
• $n, d \to \infty$ で $n/d \to \delta$ となる極限における漸近的挙動を解析するため、大偏差原理および中心極限定理および非中心極限定理を適用する。
• 二項確率変数の中心極限定理を用いて、臨界ウィンドウ $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$ を解析し、期待統計次元の正確な極限を導出する。
• コーンとその極コーンの双対性を用い、恒等式 $\mathbf{E}\Delta(S_{n,d}) = \mathbf{E}\Delta(D_{n,d}^\circ) \cdot \frac{2^n}{C(n,d)}$ を介して、Schläfliコーンの結果をCover-Efronコーンに結びつける。
• $C(n,d) = \mathbb{P}[\text{Bin}(n-1,1/2) \leq d-1]$ の正規化定数の漸近的挙動を、集中法およびガウス近似技術を用いて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n, d \to \infty$ で $n/d \to \delta$ となるとき、Cover-Efronコーン $C_{n,d}$ の $k$-面の期待数の漸近的挙動は何か？
• RQ2 $\delta = 1/2$ の臨界領域において、Cover-EfronおよびDonoho-Tannerコーンの期待統計次元はどのように振る舞うか？
• RQ3 $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$ の臨界ウィンドウ内において、期待内挿的体積および面数の挙動はいかなるものか？
• RQ4 $n, d \to \infty$ における両コーンモデルの期待統計次元の正確な高次元極限は何か？
• RQ5 $\delta = 1/2$ における $k$-面の期待数の相転移は完全に特徴づけられるか？収束速度は何か？

主な発見

• $d \to \infty$ で $n/d \to \delta$ となるとき、$\mathbf{E}f_k(C_{n,d}) / \binom{n}{k}$ の極限は $\delta \in (1/2, 1]$ に対して $1$ に収束し、$\delta = 1/2$ の未解決事例が解消される。
• 臨界ウィンドウ $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$ において、任意の固定された $k$ に対して $\lim_{d\to\infty} \sqrt{d} \left(1 - \frac{\mathbf{E}f_k(C_{n,d})}{\binom{n}{k}} \right) = \frac{e^{-c^2/4}}{\sqrt{2\pi}} \cdot \left( \Phi(-c/\sqrt{2}) - \frac{c}{2} \right)$ が成り立つ。
• Cover-Efronコーンの期待統計次元は、$\delta \in (1/2, 1]$ に対して $\mathbf{E}\Delta(C_{n,d}) \sim \frac{d}{2\delta}$ であり、$\delta \in (0, 1/2]$ に対して $\mathbf{E}\Delta(C_{n,d}) \sim d$ である。
• 臨界ウィンドウ $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$ において、Cover-Efronコーンの期待統計次元は $d \cdot \frac{1}{\Phi(-c/\sqrt{2})}$ に収束する。
• Donoho-Tannerコーンの期待統計次元は、$\delta \in (1/2, 1]$ に対して $\mathbf{E}\Delta(D_{n,d}) \sim \frac{d}{2\delta}$ であり、$\delta \in (0, 1/2)$ に対して $\mathbf{E}\Delta(D_{n,d}) \sim \frac{d}{2(1-2\delta)}$ である。
• これらの結果は、双対性およびSchläfliコーン構成を介して、ランダムGale図で生成される高次元多面体の $k$-面数に関する極限定理を示唆する。