[論文レビュー] Random data Cauchy theory for the fourth order nonlinear Schrödinger equation with cubic nonlinearity

Hiroyuki Hirayama, Mamoru Okamoto|arXiv (Cornell University)|May 24, 2015

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ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$ における超臨界ソボレフ空間 $H^s(\mathbb{R}^d)$ において、初期データをランダム化した場合の、立方体導関数非線形性を有する4階非線形シュレーディンガー方程式に対して、概収束型局所的および大域的適定性、および散乱を確立する。ウィenerランダム化と精錬されたストリカルツ推移を用いて、スケーリング臨界閾値 $s_c = \frac{d-3}{2}$ よりも低い正則性 $s > \max(\frac{d-5}{2}, \frac{d-5}{6})$ において適定性を証明し、ランダム化が臨界的でない挙動を可能にすることを示している。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the fourth order nonlinear Schrödinger equation with derivative nonlinearity $(i\partial _t + Δ^2) u= \pm \partial (|u|^2u)$ on $\mathbb{R} ^d$, $d \ge 3$, with random initial data, where $\partial$ is a first order derivative with respect to the spatial variable, for example a linear combination of $\frac{\partial}{\partial x_1} , \, \dots , \, \frac{\partial}{\partial x_d}$ or $| abla |= \mathcal{F}^{-1}[|ξ| \mathcal{F}]$. We prove that almost sure local in time well-posedness, small data global in time well-posedness and scattering hold in $H^s(\mathbb{R} ^d)$ with $\max ( \frac{d-5}{2}, \frac{d-5}{6}) < s$, whose lower bound is below the scale critical regularity $s_c= \frac{d-3}{2}$.

研究の動機と目的

• 決定論的適定性が成立しない超臨界ソボレフ空間における、導関数非線形性を有する4階非線形シュレーディンガー方程式のコーシー問題を調査すること。
• 初期データのランダム化が、スケーリング臨界正則性 $s_c = \frac{d-3}{2}$ よりも低い範囲での局所的適定性を拡張できるかどうかを特定すること。
• 確率的手法を用いて、これらの超臨界空間における小刻みデータの大域的適定性および散乱を確立すること。
• 低正則性であっても、初期データの確率的性質が積分可能性を向上させ、臨界的でない挙動を可能にすることを示すこと。

提案手法

• 部分単位分解と独立同分布のサブガウス型尾部を持つ確率変数を用いたウィナーランダム化による初期データのランダム化。
• ランダム化された初期データを有する線形発展に対する精錬されたストリカルツ推移の適用により、微分可能性を増加させることなく積分可能性を向上させること。
• 解を線形部と非線形部に分解し、非線形部がストリカルツ推移により正則性を獲得すること。
• 確率的 $L^p$ 型の境界と尾部推移を用いて、超臨界空間における解の大きさを制御すること。
• 適切な関数空間 $X^s$ における収縮性議論を構築し、概収束型の局所的適定性を証明すること。
• スケーリング議論を用いて、元の方程式の小刻みデータ結果をスケーリングされた方程式に移行させ、大域的存在と散乱を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方体導関数非線形性を有する4階非線形シュレーディンガー方程式について、スケーリング臨界正則性未満のソボレフ空間で概収束型適定性を確立できるか。
• RQ2 初期データのウィナーランダム化が、臨界的でない挙動を可能にし、決定論的閾値を越えて適定性の範囲を拡張できるか。
• RQ3 概収束型局所的適定性の最適正則性 $s$ は何か。また、スケーリング臨界正則性 $s_c = \frac{d-3}{2}$ と比較するとどうなるか。
• RQ4 確率的初期データを用いて、超臨界空間における小刻みデータの大域的適定性および散乱を達成できるか。
• RQ5 適定性の確率は、初期データの大きさと正則性 $s$ にどのように依存するか。

主な発見

• スケーリング臨界正則性 $s_c = \frac{d-3}{2}$ よりも低い範囲 $\max(\frac{d-5}{2}, \frac{d-5}{6}) < s < \frac{d-3}{2}$ において、$H^s(\mathbb{R}^d)$ で概収束型局所的適定性が成立する。
• 同じ正則性範囲 $s$ 内で、$H^s(\mathbb{R}^d)$ の小刻み初期データに対して、概収束型大域的適定性および散乱が確立される。
• 与えられた $T>0$ に対して適定性の確率は、$1 - C\exp\left(-\frac{c}{T^{\gamma}\|\phi\|_{H^s}^2}\right)$ で下から抑えられ、$T \to 0$ のとき 1 に近づく。
• ランダム化により積分可能性が向上し、初期データがスケーリング臨界正則性未満であってもストリカルツ推移が使用可能になる。
• 解写像は概収束型で時間に関して連続であり、値は $H^s(\mathbb{R}^d)$ をとる。非線形部は $C((-T_\omega,T_\omega); H^{\frac{d-3}{2}}(\mathbb{R}^d))$ に属する。
• 方程式をスケーリングし、確率的議論を用いることで、小刻み初期データに対して、解が概収束型で大域的に存在し、散乱することが証明された。失敗の確率はデータサイズに関して指数関数的に減少する。