[論文レビュー] Random Distances Associated with Arbitrary Polygons: An Algorithmic Approach between Two Random Points

Fei Tong, Jianping Pan|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Data Management and Algorithms参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の多角形（三角形、三角形分割による一般多角形、リング形状領域を含む）内に一様にランダムに配置された2点間の距離の確率密度関数（PDF）および累積分布関数（CDF）を導出するためのアルゴリズム的手法を提示する。この手法は、複雑な幾何形状を有する無線ネットワークのモデル化に不可欠な距離分布に対して、閉形式解または数値解を可能にする。

ABSTRACT

This report presents a new, algorithmic approach to the distributions of the distance between two points distributed uniformly at random in various polygons, based on the extended Kinematic Measure (KM) from integral geometry. We first obtain such random Point Distance Distributions (PDDs) associated with arbitrary triangles (i.e., triangle-PDDs), including the PDD within a triangle, and that between two triangles sharing either a common side or a common vertex. For each case, we provide an algorithmic procedure showing the mathematical derivation process, based on which either the closed-form expressions or the algorithmic results can be obtained. The obtained triangle-PDDs can be utilized for modeling and analyzing the wireless communication networks associated with triangle geometries, such as sensor networks with triangle-shaped clusters and triangle-shaped cellular systems with highly directional antennas. Furthermore, based on the obtained triangle-PDDs, we then show how to obtain the PDDs associated with arbitrary polygons through the decomposition and recursion approach, since any polygons can be triangulated, and any geometry shapes can be approximated by polygons with a needed precision. Finally, we give the PDDs associated with ring geometries. The results shown in this report can enrich and expand the theory and application of the probabilistic distance models for the analysis of wireless communication networks.

研究の動機と目的

• 任意の多角形内における2点間の距離の確率分布を体系的かつアルゴリズム的に計算するためのフレームワークを構築すること。
• 積分幾何学的原則に基づき、三角形における点対点距離分布（PDD）の閉形式または数値的表現を導出すること。
• 三角形に基づくPDD結果を三角形分割と再帰的分解を用いて、任意の多角形へと拡張すること。
• 内側と外側の多角形領域の和集合としてモデル化されたリング形状の幾何構造（例：正方形や正六角形のリング）に対して、部品となる多角形PDDの重み付き確率的和を用いてPDDをモデル化・計算すること。
• 非一様または複雑形状の配置領域を有する無線通信ネットワークの性能評価を高精度で可能にする。

提案手法

• 積分幾何学における拡張されたキネマティック測度（KM）を用い、中心線からの角度θと距離pに基づいて、三角形内での線分の交差および弦長をモデル化する。
• 2段階の数値積分を実施：角度θを0からπまでδθのステップで離散化し、各θに対して垂直距離pを0からpmまでδpのステップで離散化する。
• 各(θ, p)ペアに対して、三角形の幾何構造に基づく三角関数的関係を用いて弦長lを計算し、l ≥ d を満たす場合にPDFへの寄与を蓄積する。
• 異なる角度範囲に対応する区分的三角関数的表現に基づき、δθ → 0およびδp → 0の極限をとることで、PDDのPDFに対する記号的閉形式表現を導出する。
• 三角形PDDを任意の多角形へ一般化するために、多角形を三角形に分割し、部分三角形の面積に応じた重み付き確率的和を用いてPDDを再帰的に組み合わせる「分解と再帰（D&R）」戦略を適用する。
• リング形状に適用するため、リングを内側と外側の多角形領域の和集合としてモデル化し、領域内および領域間のPDDを計算し、面積に重み付けされた確率を用いて組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の三角形内に一様にランダムに配置された2点間の距離の確率分布を、解析的またはアルゴリズム的にどのように導出できるか？
• RQ2 分解と再帰を用いて、三角形に基づくPDDを任意の多角形へ一般化する方法は何か？
• RQ3 正方形や正六角形のリングのようなリング形状領域のPDDは、部品となる多角形PDDからどのように計算できるか？
• RQ4 シミュレーションや既存の解析的結果と比較して、提案手法の精度とスケーラビリティはどの程度か？
• RQ5 重み付き確率的和を用いて、リング形状領域における非一様なノード密度を同一フレームワーク内でどのように扱えるか？

主な発見

• 本稿では、拡張キネマティック測度を用い、角度範囲と三角関数的関係に基づいて、任意の三角形内における2点間距離のPDFの閉形式表現を導出する。
• アルゴリズム的手順により、高精度な数値的PDD PDF計算が可能であり、δθとδpが0に近づく極限処理による記号的導出が妥当性を確認されている。
• 任意の多角形では、三角形分割と、部分三角形の面積に比例する重み付き確率的和によるPDDの再帰的結合により、PDDが計算され、複雑な幾何形状の正確なモデル化が可能である。
• 正五角形および正六角形への適用において、CDFがシミュレーション結果および先行の解析的結果と一致しており、図12(a)および12(b)に示されている。
• 正方形や正六角形のリングのようなリング形状に適用するため、内側と外側の領域の和集合としてモデル化し、領域内および領域間の分布の重み付き組み合わせによりPDDを計算する。
• 確率的和の重みを調整することにより、リング領域における非一様なノード密度に対応でき、実世界のネットワークモデル化における柔軟性を示している。