[論文レビュー] Random-Facet and Random-Bland require subexponential time even for shortest paths

Oliver Friedmann, Thomas Dueholm Hansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2014

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ひとこと要約

この論文は、ランダム・ファセットおよびランダム・ブランド Simplex アルゴリズムの変種が、最短経路問題の特殊ケースですら、サブ指数的時間が必要であることを示しており、このような構造的線形計画問題においてこれらのアルゴリズムが多項式時間である可能性を疑問視している。この結果は、特定のポリトープ的構造におけるピボット規則の組合せ的解析を通じて確立されている。

ABSTRACT

The Random-Facet algorithm of Kalai and of Matousek, Sharir and Welzl is an elegant randomized algorithm for solving linear programs and more general LP-type problems. Its expected subexponential time of $2^{ ilde{O}(\sqrt{m})}$, where $m$ is the number of inequalities, makes it the fastest known combinatorial algorithm for solving linear programs. We previously showed that Random-Facet performs an expected number of $2^{ ildeΩ(\sqrt[3]{m})}$ pivoting steps on some LPs with $m$ inequalities that correspond to $m$-action Markov Decision Processes (MDPs). We also showed that Random-Facet-1P, a one permutation variant of Random-Facet, performs an expected number of $2^{ ilde{O}(\sqrt{m})}$ pivoting steps on these examples. Here we show that the same results can be obtained using LPs that correspond to instances of the classical shortest paths problem. This shows that the stochasticity of the MDPs, which is essential for obtaining lower bounds for Random-Edge, is not needed in order to obtain lower bounds for Random-Facet. We also show that our new $2^{ ildeΩ(\sqrt{m})}$ lower bound applies to Random-Bland, a randomized variant of the classical anti-cycling rule suggested by Bland.

研究の動機と目的

• 最短経路問題におけるランダム・ファセットおよびランダム・ブランド Simplex アルゴリズムの最悪ケース時間計算量を調査すること。
• これらの確率的ピボット規則が、構造的線形計画問題において多項式時間の性能を達成するかどうかを特定すること。
• 最短経路定式化から生じるポリトープ上でのこれらのアルゴリズムの挙動を分析すること。
• これらのアルゴリズムが要請する Simplex ピボット回数の期待値に対するタイトな下界を提供すること。

提案手法

• 論文は、最短経路ポリトープ上でランダム・ファセットおよびランダム・ブランドアルゴリズムを分析している。
• ランダムなファセット選択と基底更新におけるピボット操作を伴う再帰的ピボット規則が用いられている。
• アルゴリズムは基底 B を維持し、ランダムに選択されたインデックス i を選んだ後、残りの面 F\{i} のファセットを再帰的に探索する。
• 改善が可能な場合にのみピボット操作を適用し、そうでない場合は改善されていない基底のまま次に進む。
• 解析はポリトープの組合せ的性質および確率的選択における期待ピボット回数に依存している。
• 証明では、期待ピボット回数がサブ指数的になる最短経路インスタンスの族が構成されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム・ファセットおよびランダム・ブランド Simplex アルゴリズムは最短経路問題において多項式時間で実行されるか？
• RQ2 最短経路ポリトープ上でのこれらのアルゴリズムが要請するピボット回数の期待値は何か？
• RQ3 構造的線形計画問題における確率的 Simplex 法に対して、サブ指数的下界を確立できるか？
• RQ4 最短経路インスタンスに、これらのアルゴリズムに対して長いピボット列を強いる組合せ的構造が存在するか？

主な発見

• ランダム・ファセットおよびランダム・ブランドアルゴリズムは、最短経路問題ですらサブ指数的期待時間が必要である。
• ピボット回数の期待値は、入力サイズのサブ指数関数によって下から抑えられる。
• この結果は、最短経路線形計画問題においてこれらのアルゴリズムが多項式時間である可能性を否定する。
• 解析により、最短経路ポリトープの組合せ的構造が、確率的選択規則下でも長大なピボット列を引き起こす可能性があることが示された。
• 最短経路問題は他の手法によって多項式時間で解けることが知られているが、この下界はその特殊構造にもかかわらず成立する。