[論文レビュー] Random Finite Noncommutative Geometries and Topological Recursion

Shahab Azarfar, Masoud Khalkhali|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、タイプ(1,0)のランダム行列幾何におけるディラック作用素を行列モデル作用素によって分布させる、有限非可換空間上の量子重力のモデルを提示する。相関形式の再帰的計算はブロブド・トポロジカル再帰を用いて確立され、係数が離散的表面（スツッフド・マップ）を数えることを証明し、モデルパラメータの観点から基本的双微分形式 ω₀,₂ の明示的公式を導出する。

ABSTRACT

In this paper we investigate a model for quantum gravity on finite noncommutative spaces using the theory of blobbed topological recursion. The model is based on a particular class of random finite real spectral triples ${(\mathcal{A}, \mathcal{H}, D , γ, J) \,}$, called random matrix geometries of type ${(1,0) \,}$, with a fixed fermion space ${(\mathcal{A}, \mathcal{H}, γ, J) \,}$, and a distribution of the form ${e^{- \mathcal{S} (D)} {\mathop{}\!\mathrm{d}} D}$ over the moduli space of Dirac operators. The action functional ${\mathcal{S} (D)}$ is considered to be a sum of terms of the form ${\prod_{i=1}^s \mathrm{Tr} \left( {D^{n_i}} ight)}$ for arbitrary ${s \geqslant 1 \,}$. The Schwinger-Dyson equations satisfied by the connected correlators ${W_n}$ of the corresponding multi-trace formal 1-Hermitian matrix model are derived by a differential geometric approach. It is shown that the coefficients ${W_{g,n}}$ of the large $N$ expansion of ${W_n}$'s enumerate discrete surfaces, called stuffed maps, whose building blocks are of particular topologies. The spectral curve ${\left( {Σ, ω_{0,1} , ω_{0,2}} ight)}$ of the model is investigated in detail. In particular, we derive an explicit expression for the fundamental symmetric bidifferential ${ω_{0,2}}$ in terms of the formal parameters of the model.

研究の動機と目的

• ランダム行列幾何を用いて、有限非可換空間上の量子重力の場の理論的枠組みを構築すること。
• 非可換幾何におけるスペクトル作用素形式と1-ヘルミート行列モデルを通じてトポロジカル再帰を結びつけること。
• 大N極限における多トレース相関関数のシュヴィンガー＝ダイソン方程式を導出すること。
• 本モデルのスペクトル曲線を特徴づけ、基本的双微分形式 ω₀,₂ を明示的に計算すること。
• すべての相関形式 ωg,n をブロブド・トポロジカル再帰を用いて再帰的に計算するアルゴリズムを確立すること。

提案手法

• 固定されたフェルミオン空間 (𝒜,ℋ,γ,J) を持つランダム行列幾何モデルを定式化し、ディラック作用素 D を e⁻𝒮(D) dD に従って分布させる。
• 作用素関数 𝒮(D) を、任意の s ≥ 1 に対して ∏ᵢ Tr(Dⁿⁱ) の和として定義する。
• 微分幾何的アプローチを用いて、連結相関関数 Wₙ に対するシュヴィンガー＝ダイソン方程式を導出する。
• 1-ヘルミート行列モデルにブロブド・トポロジカル再帰を適用し、留数操作を用いて ωg,n の再帰的公式を導出する。
• 局所的コーシー核 G(z,ζ) と再帰核 K(z,ζ) を用いて、正則な1形式を構成し、特異点を解消する。
• 分岐点における留数と ∂Σ 上の積分を含む、ωg,n の再帰的公式を確立し、初期データとして ω₀,₁ と ω₀,₂ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな有限非可換幾何は、どのように行列モデルとトポロジカル再帰を用いてモデル化できるか？
• RQ2 このモデルにおけるスペクトル曲線と基本的双微分形式 ω₀,₂ の構造は何か？
• RQ3 連結相関関数 Wₙ は大N極限においてどのように展開され、その係数が何を数える幾何的対象か？
• RQ4 シュヴィンガー＝ダイソン方程式は、ブロブド・トポロジカル再帰と整合する再帰的形に再定式化可能か？
• RQ5 再帰核の正確な形は何か？ そして、それが高 genus の相関形式の計算を可能にする仕組みは？

主な発見

• Wₙ の大N展開における係数 Wg,n は、特定の位相的構成ブロックを持つ離散的表面（スツッフド・マップ）を数える。
• スペクトル曲線 (Σ, ω₀,₁, ω₀,₂) は完全に特徴づけられ、基本的対称双微分形式 ω₀,₂ はモデルの形式的パラメータの明示的表現を持つ。
• シュヴィンガー＝ダイソン方程式は、ブロブド・トポロジカル再帰と整合する形に再定式化され、すべての ωg,n の再帰的計算が可能になる。
• ωg,n の再帰公式は、ωg,n(z,zI) = −1/(2πi) ∫∂Σ ω₀,₂(z,ζ) 𝒱g,n(ζ;zI) + Σₚ∈ℝ Resζ=p K(z,ζ) ℰg,n(ζ,ι(ζ);zI) として得られ、初期データとして ω₀,₁ と ω₀,₂ を用いる。
• ωg,n の極は分岐点でのみ発生し、留数項の正則性と再帰核 K(z,ζ) の構造のおかげで、再帰は適切に定義される。