[論文レビュー] Random flights related to the Euler-Poisson-Darboux equation

Roberto Garra, Enzo Orsingher|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、有限速度と非一様ポアソン過程に従う時間依存の方向転換を持つ1次元および高次元の確率的飛行を調査する。Euler-Poisson-Darboux（EPD）方程式の初期値問題を解くことで、粒子の位置の明示的な確率密度関数を導出しており、特にλ(t) = α/t、λ(t) = λ coth(λt)、λ(t) = λ tanh(λt)の場合、新たな分布が得られ、それには多次元へのarcsine法則の拡張および特異成分を有する新たな平面運動則が含まれる。

ABSTRACT

This paper is devoted to the analysis of random motions on the line and in the space R^d (d > 1) performed at finite velocity and governed by a non-homogeneous Poisson process with rate λ(t). The explicit distributions p(x,t) of the position of the randomly moving particles are obtained solving initial-value problems for the Euler- Poisson-Darboux equation when λ(t) = α/t, t > 0. We consider also the case where λ(t) = λcoth λt and λ(t) = λtanh λt, where some Riccati differential equations emerge and the explicit distributions are obtained for d = 1. We also examine planar random motions with random velocities by projecting random flights in R^d onto the plane. Finally the case of planar motions with four orthogonal directions is considered and the corresponding higher-order equations with time-varying coefficients obtained.

研究の動機と目的

• R^d 上の有限速度と時間依存の方向転換を有する確率的運動を解析すること。
• Euler-Poisson-Darboux（EPD）方程式の初期値問題を解くことにより、粒子の位置の明示的な確率密度関数を導出すること。
• 古典的テレグラフ過程を非一様レート、特にλ(t) = α/t、λ coth(λt)、λ tanh(λt)に拡張し、その確率論的および解析的性質を研究すること。
• 高次元の確率的飛行を平面に射影することにより、新たなランダム速度過程を導出すること。
• 4方向に直交する方向を持つ平面運動を記述する、時間変動係数を有する高階の偏微分方程式を導出すること。

提案手法

• 時間依存係数を有する多次元Euler-Poisson-Darboux方程式を、初期値問題を用いて解く。
• Erdélyi-Koberの分数積分変換を用いて、解を波動方程式およびD’Alembertの解と関連付ける。
• EPD方程式の基本解を用いて、d次元確率的飛行の確率密度を導出する。その式は、||x|| < ct のとき、p(x,t) = Γ(γ + d/2)/(π^{d/2}Γ(γ)(ct)^{d-2+2γ}) × (c²t² - ||x||²)^{γ-1} で与えられる。
• N(t) = n の条件下での平面運動の密度関数を導出し、固定されたnに対して、位置の分布が半径ctの円板上に一様に分布することを示す。
• 2つのケースを分析する：方向転換が奇数番目または偶数番目のポアソン時刻にのみ発生する場合で、それぞれ双曲正弦と双曲余弦関数を含む異なる密度関数が得られる。
• 時間依存係数を有するテレグラフ型方程式を導出する：∂²p/∂t² + 2λ coth(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0 および ∂²p/∂t² + 2λ tanh(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限速度と非一様ポアソン切替レートを有する確率的飛行は、Euler-Poisson-Darboux方程式の解とどのように関係するか？
• RQ2 切替レートがλ(t) = α/tであるとき、d次元確率的飛行の確率密度関数の明示的形は何か？
• RQ3 切替レートがλ(t) = λ coth(λt)とλ(t) = λ tanh(λt)のとき、特に特異成分の観点から、分布はどのように異なるか？
• RQ4 方向転換が奇数番目または偶数番目のポアソン時刻にのみ発生する場合、平面運動の構造はどのようなものか？また、それらの密度関数はどのように異なるか？
• RQ5 4方向に直交する方向を持つ平面確率的飛行を記述する、時間変動係数を有する高階の偏微分方程式は何か？

主な発見

• λ(t) = α/t の場合、1次元の分布は、|x| < ct のとき、p(x,t) = 1/(B(α,1/2)ct)(1 - x²/(c²t²))^{α-1} で与えられ、α = 1/2 のときarcsine法則が一般化される。
• d次元の基本解は、||x|| < ct のとき、p(x,t) = Γ(γ + d/2)/(π^{d/2}Γ(γ)(ct)^{d-2+2γ})(c²t² - ||x||²)^{γ-1} で与えられ、γ = α - (d-1)/2 である。
• λ(t) = λ coth(λt) の場合、平面運動の密度は P(dx,dy) = (λ/(2πc sinh(λt))) × cosh(λ/ c √(c²t² - x² - y²)) / √(c²t² - x² - y²) dx dy で与えられ、円板の境界で発散する。
• λ(t) = λ tanh(λt) の場合、平面運動の密度は P(dx,dy) = (λ/(2πc cosh(λt))) × sinh(λ/c √(c²t² - x² - y²)) / √(c²t² - x² - y²) dx dy で与えられ、境界∂C_{ct}上に重み1 - 1/cosh(λt)の特異成分を有する。
• 奇数番目の切替時刻を持つ運動は、テレグラフ方程式 ∂²p/∂t² + 2λ coth(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0 に従う。
• 偶数番目の切替時刻を持つ運動は、テレグラフ方程式 ∂²p/∂t² + 2λ tanh(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0 に従い、境界に非ゼロの離散成分を有する。