[論文レビュー] Random Graphons and a Weak Positivstellensatz for Graphs

László Lovász, Balázs Szegedy|ArXiv.org|Feb 8, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、部分的にラベル付けされたグラフの代数における平方和の和として、すべてのグラフに対して漸近的に成り立つ任意の線形不等式が、任意に良く近似可能であることを示すことによって、グラフの極限における弱いポジティブステレーゼンサツを確立する。グラフ極限構造の緩い版—例えば、可算グラフ上のエルゴード測度や乗法的でない、孤立ノードに依存しないグラフパラメータ—を導入し、それらの同値性を証明することで、コーシー・シュワルツ型の恒等式を用いた漸近的不等式の形式的証明系を可能にする。

ABSTRACT

In an earlier paper the authors proved that limits of convergent graph sequences can be described by various structures, including certain 2-variable real functions called graphons, random graph models satisfying certain consistency conditions, and normalized, multiplicative and reflection positive graph parameters. In this paper we show that each of these structures has a related, relaxed version, which are also equivalent. Using this, we describe a further structure equivalent to graph limits, namely probability measures on countable graphs that are ergodic with respect to the group of permutations of the nodes. As an application, we prove an analogue of the Positivstellensatz for graphs: We show that every linear inequality between subgraph densities that holds asymptotically for all graphs has a formal proof in the following sense: it can be approximated arbitrarily well by another valid inequality that is a "sum of squares" in the algebra of partially labeled graphs.

研究の動機と目的

• グラフ極限の理論を拡張し、グラフオン、確率的グラフモデル、およびグラフパラメータの緩い構造的同等物を導入すること。
• それらの緩い構造の同値性を確立すること、特に置換不変性の下での可算グラフ上のエルゴード確率測度を含むこと。
• 部分的にラベル付けされたグラフの代数における平方和を用いて、部分グラフ密度間の漸近的線形不等式の形式的証明系を提供すること。
• マンテル＝トゥーラン型の極値グラフ理論の不等式—例えばそれらが極限においてコーシー・シュワルツ型の恒等式によって導出可能であることを確認すること。

提案手法

• 孤立ノードの削除に対する不変性を乗法的性質に代えて用いることで、グラフパラメータの緩い版を導入する。
• 局所性条件を満たさない新しいクラスの確率的グラフモデルを定義し、グラフオン上の分布を許容する。
• 部分的にラベル付けされたグラフ（量子グラフ）の代数を用いて不等式を形式化し、平方和を定義する。
• 行列空間における双対性と極限の議論を用いて、非負のグラフパラメータが平方和の極限であることを示す。
• カット距離位相を用いて、可算グラフ上のエルゴード測度と緩いグラフ極限対象との同値性を確立する。
• カットノルムとカット距離を用いて、グラフオンおよびその緩い版の空間における収束性とコンパクト性を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフパラメータにおける乗法的性質の条件を、グラフ極限構造との同値性を保ちつつ緩めることは可能か？
• RQ2 自然な確率的構造—特に置換不変性の下での可算グラフ上のエルゴード測度—がグラフ極限を特徴付けるものか？
• RQ3 すべての部分グラフ密度間の漸近的線形不等式が、グラフ代数における平方和から形式的に導出可能か？
• RQ4 コーシー・シュワルツ型の恒等式は、極値グラフ理論における有効な漸近的不等式をどの程度まで捉えられるか？
• RQ5 緩いグラフ極限対象（例えば、グラフオン上の分布）は、古典的グラフオンおよび確率的グラフモデルとどのように関係するか？

主な発見

• すべてのグラフに対して漸近的に成り立つ、ホモモーフィズム密度間の線形不等式は、部分的にラベル付けされたグラフの代数における平方和として、任意に良く近似可能である。
• 有効なホモモーフィズム密度間の線形不等式の錐において、平方和の空間は稠密である。これにより、グラフにおける弱いポジティブステレーゼンサツが確立される。
• 可算グラフ上のエルゴード確率測度は、グラフオン上の分布や孤立ノードに依存しないグラフパラメータを含む、緩いグラフ極限構造と同値である。
• 双対性と行列空間における極限の議論を用いて、緩いグラフ極限対象（例えば、非局所的確率的グラフモデル、非乗法的パラメータ）の同値性が確立される。
• 非負で、孤立ノードに依存せず、フラットに反射正値性を満たすパラメータの双対錐は、平方和によって生成され、形式的証明系が裏付けられる。
• カットノルム位相により、グラフオンの空間がコンパクトであることが保証され、収束性と極限解析が主結果に不可欠な要因となる。