[論文レビュー] Random index of codivisibility

José Fernández, Pablo Fernández|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、大きなランダムな r-タプルの共通因数指標の漸近的正規性を確立し、同じ素因数を持つ要素の最大数が r が増加するにつれて正規分布に収束することを示している。主な結果は、確率的整数論と二項尾の集中不等式を用いて、収束速度の定量的評価が得られている。

ABSTRACT

The index of codivisibility of a set of integers is the size of its largest subset with a common prime divisor. For large random samples of integers, the index of codivisibility is approximately normal.

研究の動機と目的

• ランダムな r-タプルの共通因数指標の確率的挙動を分析すること。ここで共通因数指標とは、共通の素因数を持つ要素の最大数を意味する。
• タプルサイズ r が無限大に近づくにつれて、この指標の漸近的正規性を確立すること。
• 二項尾確率の境界を用いて、正規性への収束速度を定量化すること。
• 既知の相互および対ごとの互いに素な性質の結果を、共通因数指標を用いてより広いクラスの互いに素な条件へと拡張すること。
• 独立な素数レベルの事象を用いて、ランダム整数タプルにおける割り算のパターンを統一的に理解するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 共通因数指標を $ I_r(a_1, \ldots, a_r) = \text{max}_p \big( \text{number of } a_j \text{ divisible by } p \big) $ と定義し、共通の素因数を持つ要素の最大数を測定する。
• ランダム整数に対する $ W_r $、すなわち共通因数指標の極限分布を $ F_r(t) = \textstyle\prod_p \mathbf{P}(\textsc{bin}(r, 1/p) \leq t) $ としてモデル化し、素因数による独立的な割り算を反映する。
• Hoeffding の不等式を用いて、特に小さい $ p $ および大きな $ r $ の場合の二項変数 $ \textsc{bin}(r, 1/p) $ の尾確率を評価する。
• $ 1/p $ が小さい、特に大きな素数の場合のレアイベントに対して、より鋭い境界を得るためにBennettの不等式を用いる。
• 素数の積を $ p \geq 64 $ および $ 3 \leq p < 64 $ に分割し、それぞれに異なる境界を適用する。
• 尾確率の推定を組み合わせることで、$ \big| \mathbf{P}(\textsc{bin}(r, 1/2) \leq t) - \mathbf{P}(W_r \leq t) \big| \leq A e^{-Br} $ を示し、指数的収束による正規性の証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな r-タプルにおいて、共通因数指標とは、同じ素因数を持つ要素の最大数として定義されるが、r が増加するにつれてその挙動はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 r が十分に大きい場合、共通因数指標の分布は漸近的に正規的であるか？ もしそうならば、収束速度はどの程度か？
• RQ3 素因数 p による割り算をモデル化する二項変数 $ \textsc{bin}(r, 1/p) $ の尾確率は、共通因数指標の全体的な分布にどのように寄与するか？
• RQ4 共通因数指標の正規性への収束を、明示的な指数的境界を用いて定量的に評価できるか？
• RQ5 この結果は、一様整数分布を超えて、ゼータ分布のような他の分布に対しても拡張可能か？

主な発見

• ランダムな r-タプルの共通因数指標 $ W_r $ は、$ r \to \infty $ のとき、平均 $ r/2 $、分散 $ r/4 $ の正規分布に分布収束する。これは二項分布 $ \textsc{bin}(r, 1/2) $ と一致する。
• 収束速度は指数的に速い：すべての $ t \in \mathbb{R} $ に対して、$ \textsc{bin}(r, 1/2) $ の累積分布関数と $ W_r $ の差は、絶対定数 $ A, B > 0 $ を用いて $ A e^{-Br} $ で抑えられる。
• $ t \leq 3r/8 $ の場合、Hoeffding の不等式を用いた二項尾の推定により、差は $ e^{-r/32} $ で抑えられる。
• $ t > 3r/8 $ の場合、積を素数に分割し、$ p \geq 64 $ に対してBennettの不等式を用いる。その結果、$ \prod_{p \geq 64} \mathbf{P}(\textsc{bin}(r, 1/p) \leq 3r/8) \geq 1 - 2^{1 - 3r/16} $ が得られる。
• 中間の素数 $ 3 \leq p < 64 $ の積は、$ q = 1/p \leq 1/3 $ を用いたHoeffdingの不等式により、下から $ 1 - 17e^{-r/300} $ で抑えられる。
• この結果はゼータ分布へ一般化可能である：$ \mathbf{Q}_s $ の下で、正規化された共通因数指標 $ \frac{U_r - r/2^s}{\sqrt{(1 - 1/2^s) r / 2^s}} $ は、$ r \to \infty $ のとき $ \mathcal{N}(0,1) $ に分布収束する。