[論文レビュー] Random Latin squares and 2-dimensional expanders

Alexander Lubotzky, Roy Meshulam|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、d個の独立なランダムラテン方陣のd-タプルに基づく、2次元単体的複体の新しい確率的モデルを導入し、固定されたdおよび十分に大きなnに対して、このような複体が漸近的にほとんど確実に1次コバウンダリー拡張率が正であるε > 0の1次元拡張率を持つことを証明している。この構成により、有界な辺次数を備えた無限族の(2,d,ε)-拡張率が得られ、高次元拡張率の有界次数の存在に関する問題が解決される。

ABSTRACT

Let X be a 2-dimensional simplicial complex. The degree of an edge e is the number of 2-faces of X containing e. The complex X is an ε-expander if the coboundary d_1(ϕ) of every Z_2-valued 1-cochain ϕ\in C^1(X;Z_2) satisfies |support(d_1(ϕ))| \geq ε|\supp(ϕ+d_0(ψ))| for some 0-cochain ψ. Using a new model of random 2-complexes we show the existence of an infinite family of 2-dimensional ε-expanders with maximum edge degree d, for some fixed ε>0 and d.

研究の動機と目的

• 2次元コバウンダリー拡張率が一様に有界な辺次数を持つことを確立すること。
• グロモフのトポロジカルオーバーラップ性質を踏まえた高次元拡張率における有界次数に関する未解決問題を解決すること。
• ランダムラテン方陣を用いた2複体の新しい確率的モデルを構築し、n → ∞の際に高い拡張率をほぼ確実に得られることを示すこと。
• このような複体に対してコバウンダリー拡張率定数h₁(Y)が0から離れていることを示し、非自明なコホモロジーと拡張率を保証すること。

提案手法

• n階のd個の独立なランダムラテン方陣L₁,…,L_dから、各2単体が三つ組(a_i, b_j, c_{π_ki(j)})に対応する3部グラフ的2次元複体Y(L₁,…,L_d)を構築する。
• コバウンダリー拡張率定数h₁(X)を、非コバウンダリー1次コチェインϕ ∈ C¹(X;𝔽₂)に対して、||d₁ϕ|| / ||[ϕ]|| の最小比として定義する。
• 確率論的手法と集中不等式（例えば、チェルノフの不等式および乱雑置換における線形形式に関する定理4）を用いて、||d₁ϕ|| が小さい確率を抑え込む。
• 小スパムと大スパムのコチェインを別々に分析する：小スパムに対してはラテン方陣の構造を用いたスペクトル型の不等式を適用し、大スパムに対してはDotterrerとKahleの結果を用いる。
• d = 10¹¹およびε = 10⁻¹¹に対して、n → ∞の際にh₁(Y) > εが漸近的にほとんど確実に成り立つことを証明する。
• グロモフの定理を活用し、このような複体があるδ > 0に対して(2,δ)トポロジカルオーバーラップ性質を満たすことを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元単体的複体の無限族で、一様に有界な辺次数dと正の拡張率定数ε > 0を持つコバウンダリー拡張率が存在するか？
• RQ2 ラテン方陣のような組合せ的設計に基づく確率的構成は、強力なスペクトル的性質に類似した高次元拡張率を生成できるか？
• RQ3 D₀(Y)およびD₁(Y)が両方とも有界となる2複体を構築することは可能か？高次元の頂点を回避できるか？
• RQ4 n → ∞の際に、ランダムラテン方陣モデルY(L₁,…,L_d)が正のh₁(Y)を持つ確率が1に近づくか？
• RQ5 グロモフの定理が示唆するように、このような複体はトポロジカルオーバーラップ性質を満たすか？

主な発見

• d = 10¹¹およびε = 10⁻¹¹に対して、n → ∞の際にY(L₁,…,L_d)は確率が1に近づくε-拡張率である。
• この構成により、固定されたd < ∞およびε > 0を備えた無限族の(2,d,ε)-拡張率が得られ、有界次数の高次元拡張率の存在に関する問題が解決される。
• コバウンダリー拡張率定数h₁(Y)は0から離れており、特にd = 10¹¹および十分に大きなnに対してh₁(Y) > 10⁻¹¹である。
• このモデルにより、d ≥ 100のとき、スペクトルギャップの議論とガーランドの定理に基づき、H₁(Y;𝔽₂) = 0 がほぼ確実に成り立つ。
• この複体は、グロモフの定理および正の拡張率の結果として、あるδ > 0に対して(2,δ)トポロジカルオーバーラップ性質を満たす。
• この構成がほぼ確実に拡張率をもたらす最小のdはd₀ ≥ 4であり、d₀ = 4である可能性が非常に高い。