[論文レビュー] Random Matrices, the Ulam Problem, Directed Polymers & Growth Models, and Sequence Matching

Satya N. Majumdar|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ランダム行列、ウラム問題（最長増加部分列問題）、確率的媒体内の指向的高分子、および配列マッチングの4つの見かけ上無関係な問題の間で、すべてが普遍的なフラクチュエーション法則としてトレーシー・ワイドマン分布を共有することを示すことにより、深い関係を確立している。特に、バルスティック沈着モデルやベルヌーイマッチングモデルを最長増加部分列問題へ正確に写像することで、著者は、ランダム行列理論および行列式点過程への厳密な接続を通じて、このトレーシー・ワイドマン分布がこれらの系において普遍的に出現することを示している。

ABSTRACT

In these lecture notes I will give a pedagogical introduction to some common aspects of 4 different problems: (i) random matrices (ii) the longest increasing subsequence problem (also known as the Ulam problem) (iii) directed polymers in random medium and growth models in (1+1) dimensions and (iv) a problem on the alignment of a pair of random sequences. Each of these problems is almost entirely a sub-field by itself and here I will discuss only some specific aspects of each of them. These 4 problems have been studied almost independently for the past few decades, but only over the last few years a common thread was found to link all of them. In particular all of them share one common limiting probability distribution known as the Tracy-Widom distribution that describes the asymptotic probability distribution of the largest eigenvalue of a random matrix. I will mention here, without mathematical derivation, some of the beautiful results discovered in the past few years. Then, I will consider two specific models (a) a ballistic deposition growth model and (b) a model of sequence alignment known as the Bernoulli matching model and discuss, in some detail, how one derives exactly the Tracy-Widom law in these models. The emphasis of these lectures would be on how to map one model to another. Some open problems are discussed at the end.

研究の動機と目的

• ランダム行列、ウラム問題（最長増加部分列）、指向的高分子、および配列アラインメントという4つの異なる問題を、共通の統計的枠組みの下に統合すること。
• トレーシー・ワイドマン分布が、これらの系における最長部分列または経路長のフラクチュエーションを普遍的に記述することを示すこと。
• 異方的バルスティック沈着モデルおよび配列アラインメントのベルヌーイマッチングモデルという2つの特定のモデルにおいて、トレーシー・ワイドマン法則の正確な解析的導出を提供すること。
• トレーシー・ワイドマン分布の背後にある普遍性を明らかにするために、モデル間の非自明な幾何的写像を解明すること。
• 配列マッチング、成長モデル、およびトレーシー・ワイドマン法則の生物学的応用における未解決問題および今後の研究方向性を特定すること。

提案手法

• 格子パス表現を通じて、バルスティック沈着成長モデルから最長増加部分列（LIS）問題への正確な写像の使用。
• ランダム行列理論を介してLIS問題とトレーシー・ワイドマン分布を結びつける、バイク＝デイフト＝ジョハンセン（BDJ）定理の適用。
• 配列アラインメントのベルヌーイマッチングモデルを、特定の重み構造を持つ指向的高分子モデルに写像すること。
• ジョハンセンの指向的高分子に関する既知の結果を活用し、配列マッチング問題におけるトレーシー・ワイドマン分布の導出。
• 成長モデルとランダム行列固有値統計の間の接続を図る理論的道具として、行列式点過程およびダイソンのブラウン運動の使用。
• 5頂点モデルの文脈におけるベーテアンザッツ技法の使用により、配列マッチングおよび高分子モデルにおける正確可解性の探求。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム行列、高分子、および配列アラインメントといった多様な系において、なぜトレーシー・ワイドマン分布が普遍的なフラクチュエーション法則として出現するのか。
• RQ2 バルスティック沈着モデルと最長増加部分列問題との間には、どのような正確な幾何的または組合せ的写像が存在するのか。
• RQ3 有限のアルファベットサイズを持つ元来の最長共通部分列（LCS）問題において、トレーシー・ワイドマン分布は最適マッチング長をどの程度正確に記述するのか。
• RQ4 配列マッチングに関連する頂点モデルにおけるベーテアンザッツ法を直接用いて、トレーシー・ワイドマン分布を導出できるか。
• RQ5 非ランダムな系列における相関性や非均等なアルファベットサイズは、最適マッチング長のスケーリングおよび分布にどのような影響を及ぼすか。

主な発見

• バイク、デイフト、ジョハンセンにより証明されたように、トレーシー・ワイドマン分布は、ランダム順列における最長増加部分列の典型的なフラクチュエーションを普遍的に記述する。
• 異方的バルスティック沈着モデルにおける高さ分布は、系サイズが大きくなる極限で、LIS問題への写像を通じてトレーシー・ワイドマン分布に収束する。
• 配列アラインメントのベルヌーイマッチングモデルは、指向的高分子モデルと同一の経路重み分布をもたらし、トレーシー・ワイドマン法則の正確な導出を可能にする。
• 二進数列（c=2）を用いた元来のLCS問題の数値シミュレーションでは、標準偏差がn^{1/3}に比例することが確認され、トレーシー・ワイドマンと整合的であるが、分布全体の確認はまだなされていない。
• 2つの系列が異なるアルファベットサイズ（例：1つは二進、1つは三進）から生成される場合、最適マッチング長の標準偏差はn^{1/2}に比例し、n^{1/3}の普遍性クラスの崩壊を示している。
• ランダム行列固有値と成長モデル界面との間の直接的な関係（ダイソンのブラウン運動を介して）が存在することは、ランダム行列と成長過程との間の、まだ完全に同定されていないより深い接続を示唆している。