[論文レビュー] Random matrix approaches to open quantum systems

Henning Schomerus|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無作為な量子系における確率的行列理論の応用を包括的にレビューし、不規則性やカオス的系における散乱、崩壊、輸送に焦点を当てる。散乱極、遅延時間、輸送特性といった普遍的統計的挙動と、Wigner-Dyson、Wishart-Laguerre、Ginibreなどの基本的アンサンブルとの関係を確立し、対称性と非エルミート的ダイナミクスが全系の観測量を支配することを示している。

ABSTRACT

Over the past decades, a great body of theoretical and mathematical work has been devoted to random-matrix descriptions of open quantum systems. In these notes, based on lectures delivered at the Les Houches Summer School "Stochastic Processes and Random Matrices" in July 2015, we review the physical origins and mathematical structures of the underlying models, and collect key predictions which give insight into the typical system behaviour. In particular, we aim to give an idea how the different features are interlinked. The notes mainly focus on elastic scattering but also include a short detour to interacting systems, which we motivate by the overarching question of ergodicity. The first chapters introduce general notions from random matrix theory, such as the ten universality classes and ensembles of hermitian, unitary, positive-definite and non-hermitian matrices. We then review microscopic scattering models that form the basis for statistical descriptions, and consider signatures of random scattering in decay, dynamics and transport. The last chapter briefly touches on Anderson localization and localization in interacting systems.

研究の動機と目的

• オープン量子系における確率的行列アンサンブルと物理的観測量を結びつける統一的枠組みを提供すること。
• 時間反転、チャージコンjugation、キラル対称性といった基本的対称性と、散乱および輸送における統計的挙動との相互作用を明確にすること。
• 複雑な下位ダイナミクスにもかかわらず、有効な確率的行列モデルからどのように普遍的予測が導かれるかを説明すること。
• 多体系および不規則系におけるエルゴドリシティ、熱平衡化、局在化の関係を探索すること。
• 非交差近似やグリーン関数技術といった解析的手法を提示し、固有値密度および散乱特性の計算を可能にすること。

提案手法

• 時間反転対称性の有無に関わらず、ガウス型およびWishart-Laguerreアンサンブルを用いて、無作為なハミルトニアンおよび散乱行列をモデル化する。
• 非交差近似を用いて、非エルミート行列の平均グリーン関数および固有値密度を計算する。
• ブロック行列形式およびリゾルベント技術を用いて、無作為な不純物を含む散乱系のスペクトル密度を導出する。
• 自由確率論およびブルー関数の合成を用いて、複素Ginibreアンサンブルの固有値分布を解く。
• 非エルミート的確率的行列モデルにおけるトレース関係を用いて、ピーターマン係数および散乱極の分布を導出する。
• ストロボスコピックおよび連続時間の散乱アプローチを用いて、微視的モデルと巨視的輸送・崩壊観測量を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間反転対称性を含む10種類のWigner-Dyson普遍性クラスは、オープン量子系においてどのように対称性から生じるか？
• RQ2 無作為な散乱行列における散乱極および遅延時間の統計的分布は何か？
• RQ3 非エルミート的確率的行列アンサンブルは、増幅または減衰を伴うオープン量子系のスペクトル的性質をどのように記述するか？
• RQ4 ピーターマン係数は非直交モードダイナミクスにおいて果たす役割は何か？また、固有値密度とはどのように関係するか？
• RQ5 多体系においてエルゴドリシティがどのように崩壊し、局在化がその遷移において果たす役割は何か？

主な発見

• 非エルミート的Ginibre行列の固有値密度は円板則に従う：|z| < 1 に対して ρ(z) = M/π で、複素平面上に一様分布する。
• スペクトル内における平均ピーターマン係数は O(z)/ρ(z) = M(1 - |z|²) で与えられ、非直交性がスペクトル半径と直接的に関連づけられる。
• Wishart-Laguerreアンサンブルでは、固有値密度は ρ(λ) = M(c_x - 1)√[(λ - λ₋)(λ₊ - λ)] / [2πλ(1 + λ)] で与えられ、λ± は M_x, M_y, M によって定まる。
• 非交差近似によりグリーン関数の自己無撞着方程式が得られ、スペクトル密度の解析的計算が可能になる。
• 無作為系における散乱行列は、下位の対称性クラスに従って、普遍的な遅延時間および透過統計をもたらす。
• 非エルミート系における非直交モードは、ピーターマン係数によって定量化されるように、感度の向上と非普遍的輸送を引き起こす。